Уравнение эйлера-савари для эллиптической плоскости

УДК 514 185:519К.Л. ПАНЧУК Омский государственный технический университет УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА-САВАРИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ И ЕГО ИНТЕРПРЕТАЦИЯ В ЛИНЕЙЧАТОМ ПРОСТРАНСТВЕ Рассматривается известное в теории зубчатых зацеплений уравнение Эйлера-Савари и соответствующее ему построение Бобилье в эллиптической плоскости. Сделан вывод о возможности геометрического моделирования пространственных линейчатых зубчатых зацеплений в эллиптической плоскости. Известное построение Бобилье, представляющее собой, по сути, геометрическую интерпретацию теоремы Эйлера-Савари , имеет сферическое представление, полученное отображением на сферу построения Бобилье в евклидовой плоскости, касательной к сфере в полюсе зацепления . Как известно, это отображение, полученное проецированием связкой прямых и плоскостей с центром в центре сферы на касательную к сфере плоскость, не является конформным. Но поскольку все элементы построения Бобилье привязаны напрямую или косвенно к полюсу зацепления — точке касания сферы и евклидовой плоскости, то оказалось для этого частного случая возможным и правомерным получение сферического уравнения Эйлера-Савари. Была получена следующая цепь соответствий: построение Бобилье в евклидовой плоскости R2 — построение Бобилье на сфере S2 в евклидовом пространстве R3 — построение Бобилье в линейчатом пространстве R3(^), полученное на основе принципа перенесения Котельникова-Штуди . Однако исходное, конструктивно-метрическое по своему характеру, построение Бобилье в плоскости R2 в принципе не могло быть принято в качестве модели соответствующего построения в пространстве R3(^). Причина одна — метрические структуры пространств R2 и R3(^) разнородные. Плоскость R2 имеет евклидову метрику, пространство R3(^) — неевклидову (эллиптическую) . Поэтому логичным является нахождение однородной по метрике с построением Бобилье в пространстве R3(^) плоскостной модели этого построения. Приведем вначале свойства сферической кривой линии. Пусть в пространстве R3 задана сфера S2 единичного радиуса и кривая линия X на ней (рис. 1). Для сферической кривой X, описыЛ, ваемой уравнением г = r(t), Т0 t Т, | г | место выражение для орта касательной х»: (1) dY _dT ds _ _ ds dt ds dtdt В точке А е X существует два различных трехгранника сферической кривой X: трехгранник Дарбу (х», rj, Г), где fj и Г — соответственно орты центральной нормали и радиус-вектора и трехгранник Френе (т», V, р ), где V и р — соответственно орты главной нормали и бинормали. Трехгранник Дарбу (ТД) определяется ортогональными большими окружностями ат и ал. Трех (2) гранник Френе (ТФ) определяется окружностями -большой ат и соприкасающейся. Радиус кривизны pj с центром кривизны М кривой X определяется: Pj =sin(p, где ф — угол между радиус-вектором Т и бинормалью р. Точка В есть сферический центр кривизны кривой X, принадлежащий ее эволюте е. При движении ТФ вдоль^линии X происходит изменение векторов т», V и Р, выражаемое формулами Френе : dx _ 1 ; dvx + P ; dpV = v — = ds Pj dsPi P2 dsP2 где ds — элемент длины дуги линии X, р2 — радиус кручения линии X. Между ТД и ТФ существуют соотношения: v =fj-cos(p-T-sin(p ; p =fj-sin(p + T-cos(p, (3) dcp ds» ,следует из которых, на основании (1), (2) и dr _ dx _ _dii _… — = x;- = -r+r|-ctg(p;- = -x-ctgcp. (4) dsdsds Отобразим сферическую кривую X и связанные с ней ТД и ТФ на плоскость R2 с эллиптической метрикой, касательную к сфере S2, при помощи связки прямых и плоскостей с центром в центре О сферы S2. В результате получим изображение, гомеоморфное сферическому (рис. 2). При этом будет иметь место соответствие образов на плоскости R2 и прообразов на сфере S2 : Xs -X. (5) Т-х; R-T; H-rj; B-P; N где е — эволюта кривой Xs на плоскости R2. Ортогональности векторов-прообразов соответствует в сферическом отображении ортогональность следующих точек-образов: T1R,R1H,H1T,B1N,B1T. (6) Приведем соотношения, описывающие взаимосвязь указанных точек-образов, при изменении их положений в движении точки R по линии А : dtjzixi ¦dzjti dsРk ^1dsP Рис. 1. Сферическая кривая (7) Рис. 2. Кривая в эллиптической плоскости 8.8 X; = X; COSЬ Z; S1T1- | 1 1 к 1 к 8. 8.. X; = Z;COSX; Sin -, 1 = 1,2,3, 1 к к где приведенные декартовы однородные координаты соответствуют следующим точкам: B(Xj,x2,x3); R(x!,x2,x3); H(z15z2,z3); N(x15x2,x3); T(t15t2,t3). При этом ds и р — элемент длины дуги и радиус кривизны линии Xs. Учитывая, что_углу ф между радиус-вектором г» и бинормалью Р соответствует длина дуги большой окружности между точками А и В (см. рис. 1), которая в эллиптической плоскости R2 представляет собой расстояние 8 между соответствующими точками R и В (см. рис. 2), можно сделать на основе сравнения формул (4) и (6), (3) и (7) следующий вывод: линия X в эллиптической плоскости R2 представляет собой гомеоморфную модель сферической линии X. В соответствии с принципом перенесением Котельникова-Штуди сферической кривой линии X соответствует в пространстве R3(-0 линейчатая поверхность Л с винтовым уравнением R=R(t), где t — вещественный параметр, причем трехгранникам ТД и ТФ линии X отвечают соответствующие трехгранники поверхности Л (Рис. 3). Формулам Френе (2) сферической кривой X соответствуют формулы Френе линейчатой поверхности Л, описывающие перемещение ТФ по поверхности Л вдоль ее стрикционной линии: N (8) dTN.dNJT j^.dB dS ~ R dS ~ R R dS где T, N, В — единичные винты, образующие ТФ; Р:, Р2 — соответственно дуальные числа — значения первой и второй кривизн поверхности Л; dS — элемент дуальной дуги поверхности Л, равный dS = ds0 + codSj, со =0;ds0,dSj — соответственно вещественные угол и кратчайшее расстояние между бесконечно близкими образующими прямыми линиями поверхности Л. Формулам (3) сферической кривой соответствуют формулы линейчатой поверхности Л : N = HcosO RsinO; B = HsinO + Rcoscp, (9) где Ф = ф0 + соф], со = 0 — дуальный угол между единичными винтами образующей R и бинормали В. Формулам (4) линии X отвечают соответствующие формулы линейчатой поверхности Л : dT dS dR. lis dH Т: -R + HctgO; -TctgO. (10) Сферическую линию X можно рассматривать как результат конического изображения линейчатой поверхности Л или сферическую индикатрису этой поверхности . Очевидно, возникающее при этом соответствие А — Х одно — многозначное, то есть А^-Х однозначное, а 1- Л — многозначное. Для однозначности последнего соответствия необходимо введение дополнительных условий, например, задание угла между образующей прямой линией поверхности Л и касательной к ее стрикции в функции длины дуги линии X и задание параметра этой образующей также в функции длины дуги этой линии . При разных свойствах соответствий Л -» X иХЛ, возникающих при переходе к коническому изображению поверхности Л и от него, существует аналогия в основных геометрических закономерностях, на основе которых образуется линия X и линейчатая поверхность Л. Исходя из этой аналогии линию X r S в эллиптической плоскости К2 можно рассматривать как некоторую геометрическую модель линейчатой поверхности Л. В сферической кинематике известны теорема Эйлера-Савари и соответствующее ей построение Бобилье, составляющие основу решения задач синтеза конических зубчатых зацеплений . Геометрическая интерпретация сферического построения Бобилье представлена на рис. 4. Введем необходимые для последующего изложения обозначения и соответствия элементов геометрической схемы: OR = r; OF = p; OOi=^; 002=^; OOa = Р!, ООъ=р2; OS=s»; ZFOR = a; ZFOOa = Pj; ZFOOb = p2; ZROO, = щ; ZR002 = \|/2; 0 = Z01R02. Линии Cj и с2 представляют собой сферические центроиды двух конических колес с общей вершиной конусов О в центре сферы S^; а и b — взаимоогибае-мые кривые — профили зубьев колес, связанные соответственно с центроидами с: и с2, R — сферический полюс зацепления, F — точка касания профилей а и Ь, О; и 02 — сферические центры кривизны центроид С; и с2, они же определяют направления бинормалей этих центроид, проведенных из центра сферы; Оа и Оь — сферические центры кривизны взаимоогиба-емых профилей а и Ь, принадлежащие сферическим эволютам е^и е2соответственно и определяющие направления бинормалей этих профилей. Уравнение Эйлера-Савари для сферического изображения имеет следующий вид cos 0 = ctg\\i1 ± ctg\|/2 -(H) где знаки i соответствуют внешнему и внутреннему касанию центроид и профилей, функции ctg углов отвечают соответствующим кривизнам сферических линий Cj, с2, а и Ь. Выполним отображение сферического изображения построения Бобилье на эллиптическую плоскость R2, касательную к сфере S2 в точке R, проецированием связкой (О) прямых и плоскостей. Такое отображение, как было отмечено выше, является конформным. В результате отображения получим на плоскости R2 изображение, представленное на рисунке 5, на котором для удобства понимания сохранены обозначения сферического изображения. На основании формулы взаимосвязи геометрии кривой и ее эволюты в эллиптической плоскости (12) 18 — = ctgРк следует, что кривизна 1/р кривой линии в эллиптической плоскости определяется функцией ctg от расстояния 8 между точкой R кривой и ее центром кривизны В на эволюте. Это же расстояние при отображении единичной сферы S2 на эллиптическую плоскость R2 есть угол между двумя векторами, выходящими из центра сферы и соответствующими указанным точкам. Таким образом, на основании (11) и (12) получаем уравнение Эйлера-Савари для эллиптической плоскости: cos в = kk . 5RO! , . 5I = ctg—^±ctg-. (13) С учетом (12) последнее уравнение на основе геометрического смысла углов можно преобразовать к виду: (14) (+)cos@ =+ Pro3 РбюьPq Pc2 где pR0 и pR0 — радиусы кривизны траекторий, описываемых центрами кривизн Оа и Оь взаимооги-баемых профилей а и b, pCl и рС2 — радиусы кривизн центроид Cj и с2. Очевидно, для уравнения (13) имеют место соотношения: 1 1 — Pfo3 Prf ; 1 ! + Pfok Prf, Pro, Pfo3 + Prf Pro^, Pfoi, Prf где pF0, pF0 и pRF — соответственно радиусы кривизн профилей а, Ь и траектории, описываемой контактной точкой F. о принципу перенесения Котельникова-Штуди сферической конструкции на рисунке 4 будет соответствовать линейчатая конструкция (Рис. 6) в пространстве R3(T). Формула (11) Рис. 3. Линейчатая поверхность Рис. 4. Сферическое построение Бобилье Рис. 5. Построение Бобилье в эллиптической плоскости Рис. 6. Построение Бобилье в линейчатом пространстве для линейчатого пространства на основании принципа перенесения принимает следующий вид cos© = ctg^j ± ctg^, (15) при этом тригонометрические функции углов и сами углы представляют собой дуальные тригонометрические функции и дуальные углы. Уравнение (15) после разделения его на главную и моментную составляющие преобразуется в два вещественных уравнения , соответствующих пространственной интерпретации теоремы Эйлера-Савари для случая взаимоогибаемых линейчатых центроид у и у2 и связанных с ними взаимоогибаемых линейчатых поверхностей аир (см. рисунок 6). Принятые обозначения для линейчатой конструкции, являющейся обобщением сферической конструкции на рисунке 4 и конструкции в эллиптической плоскости на рисунке 5, соответствуют следующим образом: r-Rjp-P^-Rj^-R.jpj-Pjjp.-P,; S—S; a-Aifr-BjiP.-B,; ?i — %: ?2 » ^2; ci — Yi; c2 — y2; a-a; b- p; ex — ех; e2 — e2; ю — ю1; u — u1; ц — ц1; f — f lo-a1, где верхний индекс »1» соответствует обозначению щетки первого порядка. При этом правые части векторных соответствий представляют собой единичные винты. Вышеизложенное позволяет сделать следующие выводы: 1. Существует изоморфизм между геометрическими интерпретациями построения Бобилье в эллиптической плоскости и в линейчатом пространстве. Тем самым устанавливается взаимно однозначное соответствие уравнений Эйлера-Савари в обеих интерпретаций. 2. Поскольку построение Бобилье представляет собой геометрическую модель зубчатого зацепления, то решения задач синтеза пространственных зубчатых зацеплений, имеющих место в линейчатом пространстве, на основании п. 1 могут быть выполнены в эллиптической плоскости.