Познавательно-деятельностная матрица как основа структуризации

Проведенный анализ познавательных процессов позволяет из множества психологических процессов познания выделить следующие определяющие познавательные уровни: отражение, осмысление, алгоритмирование и контролирование, обозначенные через , . Уровень — это уровень отражения (ориентировочный уровень), который характеризует восприятие учебного материала учащейся личностью и включает в себя такие психологические процессы как ощущение, восприятие, внимание, воображение, память (как воспоминание), наглядно-образное мышление, мотив. Уровень — осмысление. Мыслительная функция включает в себя переработку принятой учебной информации, нахождение способов решения поставленной задачи. Она характеризуется такими психологическими процессами как память, сознание, наглядно — действенное или понятийное мышление, мотив. Уровень — алгоритмирование. Формирование алгоритма решения поставленной задачи является исполнительной функцией, которая включает в себя анализ способов, применяемых для реализации алгоритма, и характеризуется такими психологическими процессами как память, сознание, внимание, воображение, речевое мышление, эмоции, мотив. Познавательный уровень — контролирование. Контрольно — корректировочная функция отвечает за правильное оформление результата и характеризуется такими психологическими процессами как память, внимание, мышление, речь, мотив. Контролирующая процедура является средством выработки у учащегося методики и умения регулярно анализировать и корректировать собственную деятельность (самопроверка). В психологии известны два уровня деятельности в зависимости от способа выражения приобретаемой в процессе обучения информации — репродуктивный и продуктивный, которые обозначим через , . В работе подробно описаны рассматриваемые деятельностные уровни и приведены примеры разноуровневых заданий из курса высшей математики. Здесь же отметим, что уровень (узнавание) связан с репродуктивной деятельностью. В этом случае каждая операция этой деятельности выполняется с опорой на подсказку, содержащуюся в явном или неявном виде. Этот уровень знаний можно сформировать во время лекционных занятий. Второй уровень (воспроизведение) — это воспроизведение изученных учебных элементов по памяти, без подсказки. Этот уровень усвоения знаний может сформировать внеаудиторная самостоятельная работа учащейся личности или соответствующие практические занятия. Третий уровень связан с продуктивной деятельностью в фазе применения. Учащаяся личность должна обладать именно этим уровнем усвоения знаний по определенному ряду учебных элементов программы. Здесь, очевидно, краеугольным камнем выступают практические занятия, методика проведения которых должна быть ориентирована на решение нетипичных задач. Четвертый уровень усвоения связан с продуктивной деятельностью в творчестве. Сформировать этот уровень у учащейся личности чрезвычайно трудно, поскольку практика показывает, что творчеством обладают лишь единицы индивидуумов из учащейся среды. Отметим, что иерархическая последовательность познавательных уровней , прослеживается для каждого уровня деятельности , . Объединяя обе эти метрики в матрицу размера (таблица 1) мы получаем 16 учебных элементов , представляющих собой сочетание пар соответствующих определенному количеству усвоенной учебной информации. Отсюда следует, что , , где — количество усвоенной учащейся личностью учебной информации на i-ом познавательном уровне и j-ом деятельностном уровне. Таблица 1 Познавательно-деятельностная матрица учебного материала Уровни деятель-ностные Уровни познавательныеРепродуктивная деятельностьПродуктивная деятельность Узнавание (знакомство) Воспроизведение (копии) Применение (трансформация) Творчество (исследование) Отражение Осмысление Алгоритмирование Контролирование Из таблицы 1 видно, что рассматриваемая структура познавательной деятельности, в основе которой лежат не только психологические процессы, но и виды деятельности, позволяет представить освоение учащимся учебного материала как «движение» по элементам матрицы размера , составленной из перечисленных выше познавательных и деятельностных уровней. Рассмотрим как структурируются задачи в рамках познавательно-деятельностной матрицы. Для задач 1-го уровня схема усвоения определится следующей формулой: Y11>Y21>Y31>Y41; для задач 2-го уровня: Y11> Y12> Y21> Y22> Y31> Y32> Y41> Y42; для задач 3-го уровня: Y11> Y12> Y13> Y21> Y22> Y23> …; для 4-го уровня: Y11> Y12> Y13> Y14> Y21> Y22> Y23> Y24 > Y31… (рисунок 1). Рассмотрим решение задачи I уровня. Например, требуется перемножить два комплексных числа и . Учебный элемент — отражение на уровне узнавания — представляет собой понимание смысла задачи, т.е. требуется перемножить «две скобки»: . Учебный элемент — осмысление на уровне узнавания . Узнавание Воспроизведение Применение Творчество Отражение Y11 Y12 Y13 Y14 Осмысление Y21 Y22 Y23 Y24 Алгоритмирование Y31 Y32 Y33 Y34 Контролирование Y41 Y42 Y43 Y44 . Узнавание Воспроизведение Применение Творчество Отражение Y11 Y12 Y13 Y14 Осмысление Y21 Y22 Y23 Y24 Алгоритмирование Y31 Y32 Y33 Y34 Контролирование Y41 Y42 Y43 Y44 Рис. 1 Алгоритмы решения задач (1 — 4)-го уровней сложности — означает перемножение «скобок» как обычных алгебраически двучленов. Учебный элемент — алгоритмирование на уровне узнавания — представляет собой запись вида . Учебный элемент — контролирование на уровне узнавания — представляет собой преобразованную запись результата произведения в виде действительной и мнимой частей комплексного числа: . Рассмотрим задачу II уровня. Пусть требуется найти Re Z, если . Учебный элемент — отражение на уровне узнавания — представляет собой понимание смысла задачи, то есть требуется выполнить действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме записи. Элемент — отражение на уровне воспроизведения — представляет собой понимание того, что прежде всего нужно домножить и числитель и знаменатель на величину, сопряженную знаменателю; элемент — осмысление на уровне узнавания — приводит учащегося к дроби . (1) Элемент — осмысление на уровне воспроизведения — приводит к применению формул сокращенного умножения; элемент — алгоритмирование на уровне узнавания — требует вспомнить необходимые формулы: и Элемент — алгоритмирование на уровне воспроизведения — предполагает преобразование выражения (1) по записанным выше формулам сокращенного умножения. В результате получаем дробь: ; (2) элемент — контролирование на уровне узнавания — заключается в необходимых преобразованиях в решении (2): ; элемент — контролирование на уровне воспроизведения — представляет собой запись окончательного ответа: ; Re Z=. Рассмотрим задачу III уровня. Пусть требуется записать число в алгебраической форме. . Представим пошаговое (пооперационное) решение данной задачи в табличной форме. Таблица 2 Пооперационное решение задачи III-го уровня Учебные элементыПоследовательность шагов (операций) — отражение на уровне узнаванияТребуется возвести в степень комплексное число — отражение на уровне воспроизведенияПрежде чем возвести комплексное число в степень, его предварительно нужно представить в тригонометрической или показательной форме — отражение на уровне примененияВозвести в степень комплексное число можно по формулам — осмысление на уровне узнаванияНеобходимо найти модуль r и аргумент заданного комплексного числа — осмысление на уровне воспроизведенияМодуль комплексного числа определяется формулой , а аргумент равен . — осмысление на уровне примененияВычислим — алгоритмирование на уровне узнаванияДля определения правильного значения аргумента нужно представитьв какой четверти находится заданное число — алгоритмирование на уровне воспроизведения — алгоритмирование на уровне примененияЗная модуль и аргумент комплексного числа, можно записать его в тригонометрической (показательной) формах — контролирование на уровне узнаванияВозведение комплексных чисел в степень производится по формулам — контролирование на уровне воспроизведенияПрименяя записанные выше формулы, получим: — контролирование на уровне примененияДля перевода записи комплексного числа в алгебраическую форму следует подставить значения соответствующих тригонометрических функций: , . Тогда окончательно получим: . А теперь рассмотрим типичную логистическую задачу . Пусть затраты трех видов сырья на производство каждого из трех типов продукции и запасы каждого вида сырья имеют следующий вид (Таблица 3). Таблица 3 Условие логистической задачи Вид сырьяЗатраты сырья на единицу продукцииЗапасы сырья IIIIII А231245 В102130 С340270 В данной задаче требуется определить план производства, обеспечивающий использование всего сырья. Предварительный анализ показывает, что эта задача относится к третьему уровню, поэтому схема усвоения будет определяться формулой: Y11> Y12> Y13> Y21> Y22> Y23> Y31> Y32> Y33> Y41> Y42> Y43. Этапы , которые будет проходить учащийся по элементам — матрицы размера 3?3, можно представить в виде таблицы 4. Учебный элемент Y11 — отражение на уровне узнавания — будет представлять собой понимание смысла задачи: необходимо найти количество единиц продукции I, II, III-го типов, которую должно выпустить предприятие; Y12 — отражение на уровне воспроизведения -представляет собой количество искомых неизвестных; Y13 — отражение на уровне применения — заключается в обозначении искомых неизвестных: — количество единиц продукции соответственно I, II, III-го типов. Если верно отражен смысл задачи по трем деятельностным уровням, то учащийся переходит к следующему психологическому уровню — осмыслению. Этап осмысления также имеет три деятельностных уровня. В этом случае элемент Y21 представляет собой осмысление на уровне узнавания: определение расхода сырья на продукцию каждого типа. Для сырья А это будет величина ; для В — ; для С — . Осмысление на уровне воспроизведения Y22 будет связывать количество единиц произведенной продукции с запасами сырья. Для сырья вида А получим уравнение ++.= 245. Учебный элемент Y33 — осмысление на уровне применения — должен привести к анало ичным уравнениям для полного использования сырья видов В и С: +.= 130; += 270. При завершении этапа осмыслении учащийся переходит к этапу алгоритмирования. Учебный элемент Y31 — алгоритмирование на уровне узнавания — будет представлять собой систему следующего вида: При этом учебный элемент Y32 — алгоритмирование на уровне воспроизведения — должен определить метод решения этой системы уравнений; Y33 — алгоритмирование на уровне применения — представляет собой непосредственное решение этой системы выбранным методом. Уровень Y41- контролирование на уровне узнавания требует от учащегося убедиться в правильности выбранного метода решения. Учебный элемент Y42 — контролирование на уровне воспроизведения — это проверка хода решения до получения численных значений; Y43 — контролирование на уровне применения — это в конечном итоге правильная интерпретация полученных решений и запись ответа решаемой задачи. Пооперационное решение данной логистической задачи III-го уровня можно представить для удобства в табличной форме (таблица 4). Таким образом, приведенные рассуждения показывают, что предложенная для анализа логистическая задача, так же как и математическая, структурируется на конечное число учебных элементов и, следовательно, может быть использована в рамках разработанной инновационной индивидуально-корректируемой технологии обучения. Таблица 4 Пооперационное решение логистической задачи III-го уровня Учебные элементыПоследовательность шагов (операций) Y11 — отражение на уровне узнаванияПонимание смысла задачи: необходимо найти количество единиц продукции I, II и III типов, которую должно выпустить предприятие Y12- отражение на уровне воспроизведения Определение и количество искомых неизвестных Y13 — отражение на уровне примененияОбозначение искомых неизвестных: х1, х2, х3 — количество единиц продукции соответственно I, II и III типов Y21 — осмысление на уровне узнавания Определение расхода сырья на продукцию каждого типа Y22- осмысление на уровне воспроизведенияРасход сырья А на производство по такому плану составит (2х1+3х2 +х3) единиц; расход сырья В — (х1+2х3) единиц; расход сырья С — (3х1+4х2) единиц Y23 — осмысление на уровне примененияКоличество единиц произведенной продукции связано с запасами сырья уравнениями: — для сырья А: 2х1+3х2 +х3=245; — для В: х1+2х3=130; — для сырья С: 3х1+4х2=270 Y31 — алгоритмирование на уровне узнаванияЗадача сводится к решению системы уравнений Y32- алгоритмирование на уровне воспроизведения Определение метода решения этой системы Y33 — контролирование на уровне применения Решение этой системы выбранным методом Y41 — контролирование на уровне узнавания Проверка правильности выбранного метода Y42- контролирование на уровне воспроизведения Проверка хода решения до получения численных значений Y43 — контролирование на уровне применения Правильная интерпретация полученных решений и запись ответа задачи Представленная структуризация учебного процесса, безусловно, не претендует на полноту охвата проблемы и является лишь одним из возможных вариантов формального представления познавательных и деятельностных составляющих этого процесса. Такая структуризация позволяет конструктивно подойти к формированию математической модели процесса усвоения с учетом предыстории обучения и с учетом такого важного фактора, как мотивация. Далее подобная модель усвоения используется для разработки непрерывно-корректируемой технологии обучения, которая позволяет корректировать процесс усвоения с учетом индивидуальных психологических и деятельностных особенностей учащихся . , Комплексные числа. Разложение многочлена на множители: учеб. метод. пособ. /М.А.Евдокимов, Е.Н.РябиноваСамара: СамГТУ, 2002. Математика в экономике: учебно-методическое пособие для вузов / Под ред. проф. / ВЭФЭИ. — М.: Финстатинформ, 1999. 3. Формирование познавательно-деятельностной матрицы усвоения учебного материала в высшей профессиональной школе: монография / — Самара: Изд-во СНЦ РАН, 2008. 4. Разработка и реализация индивидуально-корректируемой технологии профессионального обучения: монография/ — Самара: Изд-во СНЦ РАН, 2008. 5., Активные методы изучения математики в вузе: Учеб. пособие /Ю.П.Самарин, Е.Н.Рябинова-Куйбышев: Куйбыш. гос. ун-т, 1987. —