Построение уравнений лагранжа для анализа

УДК 531.3 © 2008 ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ДЛЯ АНАЛИЗА НЕГОЛОНОМНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С НАСЛЕДСТВЕННЫМИ ТЕЛАМИ Приводится методика анализа неголономных механических систем, содержащих наследственные тела, описываемые релаксационной моделью Кельвина. Приведен пример анализа динамики однородного диска на балке с упруго-вязким основанием. Одна из основных задач современного машиностроения заключается в создании машин, имеющих достаточно большой ресурс, допускающих работу с малыми амплитудами колебаний и низким значением усилий, передаваемых от наиболее динамически нагруженных рабочих органов к остальным элементам машины. Большую роль в решении этой задачи имеет использование в конструкциях машины высоко энергопоглощающих материалов, а также прогрессивных методов расчета, основанных на математических моделях, наиболее полно учитывающих все силовые факторы. В настоящее время, в связи с интенсивным применением синтетических материалов наблюдается повышенный интерес в применении реологических моделей при решении задач механики твердых деформируемых тел. Большой вклад в развитие идей внесли авторы монографии , обогатившие теорию анализа голономных механических систем с реологическими элементами, доведя ее до формул практического применения. Автор данной работы предлагает распространить методы, разработанные в , для решения нового широкого класса задач — на неголономные системы с наследственными телами Кельвина. Изложим методику построения модифицированных уравнений. В , а несколько позднее, используя другой подход в построено обобщенное уравнение Лагранжа , (1) где — реакция — го реологического элемента, , -косинусы углов, образуемых реакцией с осями Декартовых координат, — число Декартовых координат, — Декартовые координаты механической системы, — число реологических элементов, — число генеральных координат . Запишем модифицированное уравнение Лагранжа с множителями связей , (2) где — -ый множитель связи, , где , (3) уравнения неголономных связей. Для исключения реакций следует использовать уравнение , (4) вытекающее из анализа структуры тела Кельвина, или , (5) являющееся решением уравнения (4). Здесь — время релаксации — го элемента, — -ая реологическая координата, описывающая линейное напряженно-деформированное состояние, — длительный модуль упругости на растяжение-сжатие -го реологического элемента, , — жесткости пружин тела Кельвина. Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда число реологических элементов меньше числа обобщенных координат . Разделим систему уравнений (2) на две подсистемы (6) (7) В силу независимости уравнений (6), их можно разрешить относительно , (8) где — Лагранжиан индекса , имеющий вид Решая совместно уравнения (8) и (4), получаем систему Лагранжевых уравнений третьего порядка . (9) Подсистема уравнений (7) после подстановки равенств (8) принимает вид (10) где . Следует отметить, что изложенный алгоритм построения уравнений не всегда правомерен. Его можно применять в тех случаях, когда множители связей системы уравнений (6) полностью определяются из системы уравнений (7). Система уравнений (9),(10) должна быть проинтегрирована совместно с уравнениями неголономных связей (3). Для построения интегро-дифференциальных уравнений в релаксационном виде, исключаем реакцию из уравнений напряженно-деформированного состояния (8) и (5). В итоге получаем систему уравнений . (11) Другая группа уравнений представлена в дифференциальной форме (10). В качестве примера применения полученных уравнений рассмотрим задачу о движении однородного диска массой и радиуса по безмассовой бесконечно длинной балке жесткостью на упруго-вязком основании, моделируемом системой параллельных вертикальных пружин, обладающих реологическими свойствами. Это позволяет представить физическую модель как дискретную систему, движение которой описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Ориентацию диска в системе определим при помощи четырех координат: и (рис. 1). Рис. 1. Угловые координаты диска Угол характеризует степень наклона касательной к упругой линии балки. Координаты и — генеральные, координата — реологическая, обусловленная деформацией сжатия винклеровского основания. Она является избыточной и зависимой, так как может быть известным образом найдена в функции угла . Но для удобства представления уравнений движения именно в дифференциальной форме, принимаем координату за обобщенную. Введены четыре системы координат (рис. 1) — неподвижная и подвижные: , оси которой параллельны осям , система , которая при движении вершины (точки касания диска с балкой) вращается с угловой скоростью вокруг оси , параллельной оси и полуподвижную систему , ось которой ортогональна плоскости диска. Положение плоскости диска по отношении к осям определим углом , образуемым вращением диска вокруг оси . Так как при движении диска система осей вращается против часовой стрелки, то имеет место равенство . Косинусы углов между осями координат представлены следующей таблицей Таблица 1 ??? 0 Проекции абсолютной угловой скорости диска на подвижные и неподвижные оси определяются равенствами . (12) Условие качения диска по балке без проскальзывания в точке касания выражено векторным равенством , (13) где , , — вертикальная составляющая скорости точки диска, равная скорости в точке балки, — единичные вектора соответствующих осей. Проектируя (13) на неподвижные оси находим уравнения связей , . (14) Поскольку выполняются неравенства , то первые два уравнения (14) представляют собой неинтегрируемые соотношения, то есть являются уравнениями неголономных связей. Последнее уравнение связи накладывает ограничение на характер движения диска, оставляя ему свободу передвижения в вертикальной плоскости, что совпадает с классическим представлением о движении диска по горизонтальной прямой. Поэтому в дальнейшем угловая координата исключается из рассмотрения. Координаты точки касания диска и проекции силы на оси системы удовлетворяют равенствам ,. Кинетическая и потенциальная энергии диска имеют вид , где положено , — проекции скорости точки на оси полуподвижной системы координат. В силу консервативности системы, структура обобщенных сил полностью определяется выражением потенциальной энергии . Силовыми факторами, учтенными в задаче, в соответствии с рис. 2, являются реакция реологического основания, сила реакции упругой балки (на рисунке не изображена) и сила тяжести диска . Рис. 2. Внешние силы, действующие на систему «диск-балка» Сумма определена как -я обобщенная сила, соответствующая -й обобщенной генеральной координате для -й реологической силы реакции по формулам , . Уравнения движения диска, записанные в форме Рауса с множителями связей, принимают вид , . (15) В соответствии с определением суммы при нахождении обобщенной силы , в нее не должна входить возможная работа, производимая реологической силой . Решая совместно первое и третье уравнения системы (15), исключаем реакцию основания из первого уравнения. Решая совместно третье уравнение системы (15) с (4), исключаем реакцию из уравнения (4). Тогда система (15) примет вид , . (16) Разрешая первое и второе уравнения системы (16) относительно множителей связей, определим . Окончательно решение задачи в дифференциальной форме сводится к интегрированию системы уравнений, состоящей из уравнения третьего порядка и двух уравнений связей , . Здесь — функция, зависящая от координат и их производных. Для построения решения задачи в интегро-дифференциальной форме с ядрами релаксации стандартного наследственного тела подставим в третье уравнение системы (15) реакцию из равенства (5), в виде . Тогда приходим к системе уравнений (16), в которой третье уравнение будет записано в интегро-дифференциальной форме , (17) где . Здесь опять определяется из первых двух уравнений системы (14). Систему уравнений (15) следует проинтегрировать совместно с уравнениями неголономных связей. С использованием численных методов проведен анализ режима движения диска при следующих эксплуатационных данных и начальных условиях с-1, с, , Н/м, Н/м, м, с, м/c2, рад, , , с-1, . Здесь — ускорение силы тяжести, — время движения диска. Картина протекания реологического процесса представлена на графиках (рис. 3). а б в г Рис. 3. Графики изменения: а — обобщенной силы реакции балки, соответствующей -й обобщенной координате; б — угловой скорости диска; в — прогиба балки; г — фазовой траектории угловой скорости диска Из анализа графических зависимостей следует, что максимальному прогибу балки соответствует максимальная обобщенная сила реакции балки и угловая скорость диска, равная нулю. Происходит процесс торможения диска и его энергия переходит в потенциальную энергию деформированной балки. После остановки начинается движение балки с диском вверх и качение диска в обратном направлении до момента исчезновения деформации балки и т.д. Судя по фазовому портрету — устойчивому фокусу, механическая система диск-балка-тело Кельвина будет совершать затухающие низкочастотные колебания вблизи устойчивого положения равновесия. При этом наблюдается фаза отрыва диска от балки, о чем свидетельствует отрицательный знак обобщенной силы реакции , соответствующей — й обобщенной координате. Обобщение уравнений Лагранжа для анализа механических систем с наследственными элементами, моделируемыми телами Кельвина / , // Вестник СамГТУ. Серия физико-математических наук. 2007. № 2(15). С. 192-195.