О сингулярных числах обобщенного преобразования

УДК 517.51 О СИНГУЛЯРНЫХ ЧИСЛАХ ОБОБЩЕННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТИЛТЬЕСА © 2010 г. Представлено академиком 16.09.2009 г. Поступило 28.10.2009 г. Пусть ? ? H11938 + := [0, ?) и v(x) ? 0 – локально суммируемая весовая функция на H11938 + . Обозначим L 2 := L 2 (H11938 + ) пространство Лебега измеримых на ? ?? ?? ?? 1/2 ? H11938 + функций f, таких что || f || 2 := < ?. fx() 2 xd 0 В сообщении рассматривается самосопряженный интегральный оператор типа преобразования Стилтьеса ? H5119 ? fx() := v x() fy()v y()dy x ? y ? + ---------------------- , x 0 ? 0 ,> (1) и изучаются его свойства ограниченности из L 2 в L 2 , компактности и поведение сингулярных чисел. На протяжении всей работы пишем A ? B вместо c 1 A ? B ? c 2 A, где c 1 , c 2 – некоторые константы, зависящие, возможно, только от параметра ?. Операторы H5119 ? и более общие исследовались в работах , где найдены различные по форме необходимые и достаточные условия их ограниченности в пространствах Лебега. Один из первых критериев ограниченности для оператора H5119 ? получен в работе . Он состоял в двусторонней оценке нормы оператора вида ? H5119 ? L 2 L 2 > A H5119 ? := t ? v 2 y()dy t ? y ? +() 2 —————— 0 ? ?? ?? ?? . t 0> sup? (2) На конусе всех неотрицательных функций преобразование Стилтьеса эквивалентно сумме H5108 + H5108* оператора Харди x H5108fx() := v x() x ? ——— fy()v y()yd 0 (3) ? Вычислительный центр Дальневосточного отделения Российской Академии наук, Хабаровск и двойственного к нему оператора ? H5108* fx() := v x() fy()v y()yd y ? ———————- . x ? Это дает возможность исследовать преобразование Стилтьеса (1) с помощью оператора Харди (3). В частности, в работах показано, что ? A H5108 , где H5119 ? L 2 L 2 > t ? ?? ?? ?? 1/2 , t 0> sup t 0> sup= ? ? ?? ?? ?? 1/2 v 2 y()yd 0 A H5108 A H5108 t() := v 2 x()xd x 2? —————- t причем H5119 ? компактен из L 2 в L 2 , если и только если A H5108 < ? и (t) = (t) = 0. A H5108 t 0> lim A H5108 t ?> lim С другой стороны, оператор H5119 ? может быть представлен в виде композиции H5119 ? H5112*H5112= (4) интегрального преобразования Лапласа ? H5112fx() := e xy ? – fy()v y()yd 0 (5) ? и сопряженного к нему оператора ? H5112* gy() := v y()e xy ? – gx()x .d 0 ? Критерий ограниченности для (5), вытекающий из условий выполнения (L 2 – L 2 )-неравенства для оператора H5112 на подклассе f ? 0, был получен в работе ). Вместе с (2) и в силу представления (4) этот результат влечет следующий критерий ограниченности H5112 в пространстве L 2 . Те о р е м а 1. Оператор H5112 ограничен из L 2 в L 2 тогда и только тогда, когда t ? ?? ?? ?? 1/2 ?,< t 0> sup t 0> sup A H5112 := A H5112 t() := t ?/ 2– v 2 y()dy 0 (6) где A H5112 ? ||H5112 . Отсюда в силу двойственности и (4) ограниченность оператора (1) может быть установлена с помощью следующего более простого критерия. Следствие 1. H5119 ? : L 2 > L 2 , если и только если A H5112 < ?, причем ||H5119 ? ? . Таким образом, представление (4) позволяет найти новый подход к изучению свойств преобразования H5119 ? . Те о р е м а 2. Пусть v ? . Оператор H5119 ? : L 2 > L 2 компактен, если и только если A H5112 < ? и (t) = (t) = 0. || L 2 L 2 > || L 2 L 2 > A H5112 2 L loc 2 A H5112 t 0> lim A H5112 t ?> lim Аналогичные условия компактности в L 2 справедливы и для оператора H5112. Основной целью настоящей работы является исследование поведения сингулярных чисел преобразования H5119 ? с помощью оператора H5112, а именно установить условия, при которых оператор H5112 принадлежит классу Шаттена–Неймана, и далее с помощью (4) применить полученные результаты к решению аналогичной проблемы для преобразования H5119 ? . При доказательстве указанных результатов использовались некоторые методы и приемы из классических работ . Пусть K: H > H – компактный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве H. Напомним, что K принадлежит классу Шаттена– Неймана S p при p ? (0, ?), если и только если s n p K() n H11934? ? ?,< где s n (K) – сингулярное число порядка n оператора K. Пусть ? ?? ?? ?? 1/2 . 2 k ? k := 2 ?k / 2– v 2 y()yd 2 k 1– Для 0 < p < ? определим класс X p измеримых на H11938 + весовых функций v, таких что ? k p k H11946? ? ?.< Сформулируем сначала теорему для преобразования (5). Те о р е м а 3. Пусть оператор H5112: L 2 > L 2 компактен. (i) Если H5112 ? S p при 2 ? p < ?, то v ? X p , где 2 ? p < ?. (ii) Если H5112 ? S p для 0 < p ? 2, то v ? X 2 . (iii) H5112 ? S p при всех 0 < p < ?, если v ? X p , где 0