Моделирование волатильности: от условной гетероскедастичности

1. Введение Моделирование цен акций является основой финансовой экономики и, в частности, теорий управления инвестиционным портфелем и оценки финансовых инструментов. Так называемая современная теория управления портфелем (далее — MPT, от англ. modern portfolio theory), включающая принцип диверсификации Марковица и модель оценки капитальных активов Шарпа-Линтнера ; , устарела именно потому, что заложенная в нее ключевая предпосылка о динамике цен оказалась нереалистичной и даже в практическом смысле опасной. Доходности акции не являются независимыми между собой во времени реализациями нормально распределенной случайной величины. Однако поиск новой модели до сих пор продолжается. Мы рассмотрим эмпирические свойства цен акций и различные популярные модели ценовой динамики, указывая на особую роль понятия «волатильность цен». Объектом нашего исследования выступает изменчивость цен акций, которую в финансах принято обозначать термином «волатильность» (volatility). Обычно введение научной терминологии имеет целью уточнить какие-либо представления об объекте, однако в данном случае приходится говорить, скорее, об обратном. В зависимости от контекста и точки зрения автора слово «волатильность» в финансах может означать явление изменчивости цен (variability). Именно в этом смысле мы употребили его выше, а также оценку стандартного отклонения доходностей, финансовый риск вообще, параметр ценовой модели либо определенного вида случайный процесс. Мы будем использовать понятие волатильности в его исконном значениии изменчивости. Прежде чем говорить о конкретных моделях, рассмотрим несколько подробнее само понятие. Это позволит нам проследить логику развития связанных с ним моделей. Первая модификация значения термина связана с тем, что название явления изменчивости стало применяться к наиболее очевидному способу ее оценки — стандартному откло- 94 / Консультации ¦ ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА ?3(15)2009 нению доходности акций. Эта трактовка логично встраивается в концепцию MPT, которая также называется теорией среднего — вариации (mean — variance), поскольку именно среднее значение и вариация (дисперсия) отражают всю полезную информацию об активе, если его доходность распределена по нормальному закону, как предполагает классическая теория Марковица 1. Заметим, что в рамках этой теории риск моделируется статически (каждая акция имеет некоторый присущий ей неизменный уровень риска), поэтому «волатильность — стандартное отклонение» может трактоваться как оценка постоянного параметра в простейшей модели доходности акций. Это определение волатильности укоренилось и употребляется до сих пор в профессиональной среде. Появление в 1973 г. модели оценки опционов Блэка-Шоулза-Мертона ; , помимо прочего, изменило представление о волатильности. Блэк и Шоулз используют непрерывную диффузию (геометрическое броуновское движение) для моделирования цен: (1) где — цена акции; неслучайный тренд; — стандартный винеровский процесс (броуновское движение). В данной модели параметр ст также называется волатильностью. Поскольку логарифмы доходностей за любые интервалы времени, рассчитанные по ценам следующих (1), распределены по нормальному закону, модель также называют логнормальной диффузией. Очень скоро стало ясно, что уравнение (1) плохо описывает действительность. Параметры уравнения (1) однозначно задают цены опционов для любых дат и цен исполнения. Поэтому, наблюдая цены различных опционов на рынке, мы можем с помощью функции, обратной формуле Блэка-Шоулза, оценить ст. Получаемая таким способом оценка называется вмененной волатильностью (implied volatility) в противоположность исторической волатильности (historical volatility). Вопреки предсказанию модели Блэка-Шоулза эмпирические результаты показывают, что вмененная волатильность неодинакова для опционных контрактов с различными параметрами. Этот феномен известен как «улыбка волатильности» (volatility smile). Он получил название из-за характерной выпуклой формы графика оценки ст в зависимости от цены исполнения опциона. В русскоязычной литературе утвердился термин «ожидаемая» волатильность как перевод английского слова implied. Его употребление мотивировано тем, что волатильность изменяется во времени и для оценки опционов следовало бы использовать будущую волатильность, а не наблюдавшуюся в прошлом. Тогда несовпадение исторической и вмененной волатильностей можно было бы объяснить тем, что инвесторы ожидают изменения волатильности в будущем. Однако, с нашей точки зрения, отождествление ожидаемой и вмененной волатильностей некорректно, поскольку вмененная волатильность — всего 1 В теории диверсификации Марковица может использоваться альтернативная упрощающая предпосылка: функция полезности репрезентативного инвестора имеет квадратичную форму, т.е. зависит лишь от первых двух моментов распределения доходности. 1) ¦ Консультации X 95 2) ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА ?3(15)2009 лишь результат использования конкретной модели оценки опционов. Значения вмененной волатильности меняются в зависимости от цен исполнения и других характеристик опционов. Нельзя предполагать, что ожидания инвесторов в отношении изменчивости цен акций зависят от свойств производных финансовых инструментов. Указанное несовпадение — следствие ошибочности предпосылок модели, а не изменяющихся ожиданий. Поэтому мы отказываемся от распространенной, но неудачной терминологии в пользу менее употребимого, но более точного термина2. Сказанное выше не означает, что вмененная волатильность не содержит полезной информации о будущей изменчивости цен. Действительно, вмененная волатильность широко используется для прогноза волатильности. В оценке производных инструментов вмененная волатильность играет ключевую роль, поскольку позволяет экстраполировать наблюдаемые рыночные данные для оценки новых производных инструментов ; [Avellaneda, Friedman, et al. (1997)]. Несмотря на эти успехи, более адекватная, чем (1), модель для рыночных цен все же была бы полезна как для оценки производных инструментов, так и для управления инвестиционным портфелем. Уже в работе Мертона рассматривается случай, когда параметр волатильности ст зависит от времени. Еще ранее Мандельброт описывает эмпирические свойства доходностей, которые не соответствуют модели логнормальной диффузии, предлагая рассматривать более широкий класс Левиустойчивых вероятностных распределений. Дальнейшее развитие финансовой теории привело к тому, что волатильность сама стала рассматриваться не как параметр (пусть даже изменяющийся во времени), а как случайный процесс. Таким образом, термин «волатильность» в финансах претерпел круговую эволюцию: от обозначения явления изменчивости к статистической оценке, затем к параметру модели, и, наконец, к случайному процессу, который вновь характеризует изменчивость цен в целом. Более точно волатильность можно охарактеризовать через структуру условных моментов второго порядка для распределений доходности, где в качестве информационного множества выступают прошлые наблюдения цен. В простейшем случае (1) эта характеристика дается одним параметром, в более сложных случаях — самостоятельным случайным процессом. Данную статью мы начинаем с обзора эмпирических свойств волатильности (так называемых «стилизованных фактов») и затем описываем традиционные подходы к ее моделированию (условная гетероскедастичность и стохастическая волатильность), которые позволяют в той или иной степени учитывать эти свойства. Хотя многие предложенные модели достаточно хорошо описывают отдельные эмпирические факты, ни одна из них не может считаться полностью удовлетворительной для описания всей структуры изменчивости цен. В частности, большинство традиционных моделей не позволяют реалистично учитывать динамику доходностей одновременно на различных временных горизонтах (от нескольких минут до нескольких месяцев), что имеет большой теоретический и практический интерес. При этом стилизованные факты в отношении волатильности тесно связаны с особенностями динамики доходностей, рассматриваемых на различных горизонтах (т.е. соответствующих различной частоте наблюдения цены одного и того же актива). Мы рассматриваем современные модели условной гетероскедастичности и стохастической волатильности, ис- 2 Еще одним вариантом было бы использование кальки с английского — «имплицированная» волатильность, его мы отвергаем по стилистическим соображениям. 96 / Консультации ¦ ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА ?3(15)2009 пользующие концепцию множественных горизонтов, и обсуждаем основные нерешенные задачи, связанные с этой концепцией. 2. Эмпирические свойства волатильности Многочисленные эмпирические исследования показывают, что финансовые временные ряды обладают рядом общих свойств, которые принято называть «стилизованными фактами». Реалистичная модель цен должна воспроизводить эти свойства, поэтому кратко охарактеризуем их. Более подробный обзор можно найти в . Избыточная волатильность. Наблюдаемую степень изменчивости цен на акции 3) трудно объяснить изменениями фундаментальных экономических характеристик. В частно 4) сти, большие по абсолютному значению доходности (как положительные, так и отрицатель 5) ные) часто оказывается невозможным объяснить поступлением на рынок новой информа 6) ции . . Отсутствие линейной корреляции доходностей. Доходности акций, взятые за достаточно длинные интервалы времени (один день и более), имеют статистически незначимую линейную корреляцию. Это согласуется с гипотезой эффективности рынка и основными результатами MPT, использующими мартингальные меры. Кластеризация волатильности и долгая память в абсолютных значениях доход 7) ностей. Временной ряд значений доходности, взятых по модулю, характеризуется значи 8) мой автокорреляцией, причем автокорреляционная функция убывает медленно (так назы 9) ваемый эффект дальних корреляций). Таким образом, наблюдаются родолжительные пе 10) риоды высокой и низкой волатильности ; [Ding, Granger, et al. 11) (1993)]; . . Связь между объемом торгов и волатильностью. Волатильность цен положительно коррелирована с объемом торгов, причем для последнего характерны те же свойства длинной памяти, что и для абсолютных занчений доходности . . Островершинное распределение доходностей. Безусловное вероятностное распределение дневных доходностей характеризуется «тяжелыми» хвостами, т.е. высокой вероятностью наблюдать экстремальные значения ; . Форма вероятностных распределений доходности меняется в зависимости 12) от интервалов времени, за которые рассчитываются доходности [Ghashghaie, Breymann, 13) et al. (1996)]; . Распределения логарифмических доходностей за 14) длительные интервалы времени близки к нормальному закону, тогда как распределения 15) доходностей за короткие интервалы времени (5-30 мин) характеризуются «тяжелыми» хвос 16) тами. Из указанных стилизованных фактов нас особенно будут интересовать свойства, свзяан-ные с автокорреляционной функцией (autocorrelation function, ACF) и формой вероятностного распределения доходностей и их амплитуд. Дадим определение феномена длинной памяти, о котором говорилось в предыдущем разделе, в терминах автокорреляционной функции3. 3 Более подробное обсуждение свойств процессов с длинной памятью см., например, . ¦ Консультации X 97 17) ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА ?3(15)2009 Стационарный стохастический процесс Xt с конечной вариацией имеет длинную память, если его автокорреляционная функция C(т) = corr(Xt, Xt_T) при т — оо убывает с увеличением лага не медленнее, чем по степенному закону (т.е. с гиперболической скоростью): C(т) ^2 d, (2) где 0 d — и функция L() для Vx 0 при t — оо удовлетворяет 1. Процесс имеет короткую память, если его автокорреляционная функция убывает не быстрее, чем экспоненциально, т.е.: 3A 0,cе(0,1): |C(т)| Acт. (3) В данном определении техническое условие, налагаемое на функцию L(), означает, что для бесконечного лага т эта функция должна варьировать бесконечно слабо. Подчеркнем также, что в определении речь идет о теоретической ACF, определяемой моделью, а не о ее выборочной оценке. Как мы увидим, во многих случаях выборочная ACF имеет свойства, похожие на задаваемые выражением (2), однако теоретическая ACF такими свойствами не обладает. Долгая память также может быть охарактеризована для временного ряда Xt через расхождение его спектральной плотности у основания по степенному закону: Фx(u)~ cФ|u |~а, (4) где Фx(-) — функция спектральной плотности; а — масштабирующий параметр; cФ — некоторая константа. Как мы видели в предыдущем разделе, форма псевдоспектра для абсолютных значений доходности не противоречит условию (4). Проиллюстрируем эмпирические свойства доходностей на данных временных рядов фондовых индексов. Используем для этого два типа данных: собранные с высокой частотой (внутридневные наблюдения) за небольшой отрезок времени и собранные с дневной частотой за очень большой промежуток времени. Значения французского индекса CAC40 за период с 20 марта 1995 г. по 29декабря 2006 г. наблюдаются ежедневно с 15-минутными интервалами (100 881 наблюдение), а для американского промышленного индекса ДоуДжонса с 26мая 1896 г. по 10октября 2007 г. наблюдаются ежедневные цены закрытия (28 864 наблюдения)4 Определим доходность в момент времени t е 1,…, T за интервал времени т как изменение логарифма цены акции S: rt = ln(St) — ln(St_T). (5) 4 За рамками статьи остается задача обработки анализируемых наблюдений при наличии пропущенных данных, а также эффект периодичности степени изменчивости доходности при высокочастотных данных — Прим. науч. ред. 98 / Консультации ¦ ПРИКЛАДНАЯ ЭКОНОМЕТРИКА ^ ?3(15)2009 За меру волатильности (степени изменчивости цен без учета знака) будем принимать |rt|. Отметим, что сходные результаты можно наблюдать и для квадратов доходности, и в общем для |rt|a [Bollerslev, Chou, et al. (1992)]; ; . Однако для а = 1 свойства являются более выраженными ; [Ghysels, Santa-Clara, et al. (2006)]; . На рис. 1 и 2 представлены временные ряды значений индекса, а также доходности, рассчитываемые за разные интервалы времени. Для индекса CAC40 рассчитываются 15-минутные, дневные и недельные доходности, для промышленного индекса Доу Джонса — дневные, месячные и квартальные доходности. На данных для обоих индексов можно наблюдать феномен кластеризации волатильности — периоды высоких (как положительных, так и отрицательных) значений доходности, достаточно продолжительные и устойчивые, сменяются периодами сравнительно низкой волатильности. При этом периоды роста индекса редко сопровождаются высокой волатильностью. Как правило, большие колебания доходностей наблюдаются на переломах тренда и при падениях индексов. Рассмотрим форму вероятностных распределений доходностей, рассчитанных за разные интервалы времени (рис.3 и 4). Для 15-минутных доходностей на индекс CAC40 бросается в глаза островершинность распределения: расхождение с нормальной кривой для хвостов распределения оказывается очень существенным. По мере снижения частоты наблюдений расхождение с нормальным распределением уменьшается. Этот эффект можно связать с действием центральной предельной теоремы, хотя среди исследоват