Минимальные сплайны и всплески

Посвящается светлой памяти Соломона Григорьевича Михлина, дорогого учителя и друга В предлагаемой работе на неравномерной сетке строятся минимальные (не обязательно полиномиальные) сплайны порядка m 3 нулевой высоты (понятие высоты принадлежит , см. ), даются необходимые и достаточные условия их гладкости, вводятся B?-сплайны упомянутого порядка, строятся вложенные пространства сплайнов и их вэйвлетные разложения. Исходной идеей построений минимальных сплайнов служит идея получения координатных функций из аппроксимационных соотношений; ввиду важности этих соотношений называл их фундаментальными (см. ). Развитие этой идеи привело к сплайн-всплесковым (вэйвлетным) разложениям (см. ). Преимущества этой идеи очевидны: выполнение аппроксимационных соотношений в достаточно общих предположениях ведет к качественным оценкам приближений (асимптотически оптимальным по N-поперечнику стандартных компактов). Для неравномерных сеток вопрос о построении сплайн-всплесковых разложений (см. ) цепочек вложенных пространств долгое время оставался открытым. В случаях m = 2 и m = 3 удалось найти положительный ответ на этот вопрос (см. ), однако примененная там методика недостаточна для исследования случая m 3. Заметим, что известные ранее B-сплайны, получаемые из ECT-систем (см. ), являются частным случаем построенных здесь минимальных сплайнов. * Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты №07-01-00451 и 07-01-00269). © , 2008 В данной работе установлено, что при m 3 для фиксированной пары сеток, одна из которых вложена в другую, и для любого фиксированного для первой сетки пространства минимальных (возможно, неполиномиальных и разрывных) сплайнов существует континуальное множество различных пространств минимальных сплайнов для второй сетки, каждое из которых содержит упомянутое фиксированное пространство; для каждого такого вложения строится всплесковое (вэйвлетное) разложение. Тем самым установлено, что в отличие от случая равномерных сеток для фиксированного пространства минимальных сплайнов существует континуальное число цепочек вложенных пространств минимальных сплайнов, содержащих упомянутое пространство; при этом каждая такая цепочка может быть представлена в виде прямой суммы вэй-влетных пространств. Кроме того, здесь дана классификация всех рассматриваемых пространств минимальных сплайнов с помощью множества классов полных цепочек точек прямого произведения рассматриваемого интервала (а, в) на m-мерное проективное пространство Pm и соответствующая классификация их всплесковых разложений. 1. Цепочки векторов: локальная ортогональность и полнота; классы эквивалентных цепочек Пусть Z — множество целых чисел, N — множество натуральных чисел, R1 — множество вещественных чисел. Линейное пространство m + 1-мерных вектор-столбцов обозначим Rm+i, причем для нулевого вектор-столбца введем символ 0. Компоненты векторов обозначаются квадратными скобками и нумеруются цифрами 0,1,…,m; например, a = (m)T. К векторам применяются обычные матричные операции, так что для двух векторов a, b ? Rm+i имеем aTb = ^lofcbWs, в то время, как abT — матрица с элементами q (p и q — номера строки и столбца соответственно, p, q = 0,1,…, m). Матрица, столбцами которой являются векторы a,b,c,d, ..f ? Rm+i (в указанном только что порядке), обозначается символом (a, b, c, d,…, f), а в случае квадратной матрицы выражение det(a, b, c, d,…, f) означает ее определитель. Упорядоченное множество A d= {aj}jez векторов aj ? Rm+1 будем называть цепочкой векторов; для одной и той же цепочки допустимы различные нумерации, при этом две различные нумерации могут отличаться лишь постоянным слагаемым и направлением нумерации, например, A d=f {aj }j ez с j = -j + jo (где jo -целочисленная константа) представляет собой другую нумерацию той же самой цепочки. Цепочка A = {aj}iez называется локально ортогональной цепочке B = {bj}jez, если существуют такие нумерации, при которых bTaj_m = 0, bTaj_m+i =0, …, bTaj_i =0 Vj ? Z.(1.1) Лемма 1. Если цепочка A локально ортогональна цепочке B, то и цепочка B локально ортогональна цепочке A. Итак, локальная ортогональность симметрична, так что в рассматриваемой ситуации цепочки A и B можно называть локально ортогональными. Цепочка A называется невырожденной цепочкой векторов, если среди векторов цепочки нет нулевых векторов; в противном случае цепочка называется вырожденной. Пусть Aj d=f ^aj-m, aj_m+i,…, aj_i, . Цепочка A называется полной цепочкой векторов, если detAj = 0 для всех j ? Z. Совокупность всех полных цепочек будем обозначать A. Очевидно, что множество A не содержит вырожденных цепочек. Лемма 2. Пусть цепочки A = {aj}iez и B = {bj}jez локально ортогональные и невырожденные. Тогда цепочка A является полной, если и только если полной является цепочка B. Лемма 3. Если цепочки A = {aj}iez и B = {bj}jez полные и выполнено условие (1.1), то bTaj = 0, bj+m+iaj = 0. Доказательства лемм 1-3 аналогичны доказательствам для случая m = 3 (см. с. 41-42). Лемма 4. Какова бы ни была полная цепочка векторов, существует невырожденная локально ортогональная ей цепочка; направления ее векторов определяются однозначно. Доказательство. Пусть A = {aj}jez -полная цепочка векторов. Зафиксируем целое число k и найдем вектор из условий afc_m = 0,afc_m+i =0,afc_i = 0.(1.2) Условия (1.2) можно представить в виде линейной системы уравнений относительно вектора b^: (afc_m, afc_m+i, afc_i)T= 0.(1.3) Ввиду полноты цепочки A векторы ak_m, ak_m+i,…, a^_i линейно независимы. Следовательно, система (1.3) имеет единственное (с точностью до постоянного множителя) ненулевое решение , которое может быть определено тождеством x = det(x, afc_m, afc_m+b …, afc_i).(1.4) Лемма доказана. ¦ Следствие 1. Какова бы ни была полная цепочка существует локально ортогональная ей полная цепочка, определяемая однозначно с точностью до ненулевых постоянных множителей. Доказательство вытекает из лемм 2 и 4. ¦ Лемма 5. Пусть Ad= {a^} — полная цепочка, цепочка Bd= {b^} получена по формуле x = det(x, afc_m, afc_m+i,. .., a^_i), а цепочка Cd=f {cj} получена по формуле cTx = det(x, bj+i, bj+2,. .., bj+m); тогда с ненулевыми константами Aj выполнены соотношения cj = Aj aj. Доказательство. Согласно лемме 2 цепочка B полная. Очевидны соотношения ортогональности _L afc_m, bj_afc_m+i, .._L a^_i Vk ? Z; последние эквивалентны соотношениям aj _L bj+i, aj _L bj+2, ..aj _L bj+m Vj ? Z. Поскольку цепочка C =f {cj} получена по формуле cTx = det(x, bj+i, bj+2,…, bj+m), верны соотношения cj _L bj+i, cj _L bj+2, ..cj _L bj+m Vj ? Z. Из сравнения их с предыдущими выводим требуемый результат. ¦ Рассмотрим две невырожденные цепочки A d= {a^} и A =f {aj}, для которых существует такая нумерация, при которой составляющие их векторы с одинаковыми номерами коллинеарны, т.е. имеются отличные от нуля числа такие, что = a fc; в этом случае будем писать A ~ A . Введенное соотношение ~ обладает симметричностью и транзитивностью, поэтому цепочки с таким свойством будем называть эквивалентными. Разобьем все невырожденные цепочки на классы эквивалентных цепочек; если A =f {afc } — невырожденная цепочка, то содержащий ее класс P имеет вид P = {AA | A\ = {Ajaj}j?z VAj ? Ri, Aj =0 Vj ? Z}. Для некоторого ненулевого вектора a пространства Rm+i рассмотрим множество pd=f {Aa | VA ? Ri, A = 0}; очевидно, что это множество представляет собой точку проективного пространства Pm. Введенный выше класс P можно рассматривать как упорядоченное множество P =f {pj} точек m-мерного проективного пространства Pm: Pj ? Pm, j ? Z; это множество будем называть цепочкой точек пространства Pm. Если полная цепочка векторов A эквивалентна цепочке A , то ясно, что A тоже полная цепочка; поэтому если класс P содержит полную цепочку, то в этом классе все цепочки полные. Класс полных цепочек называется полным классом, или полной цепочкой точек проективного пространства Pm. Множество всех полных классов обозначим A. Из следствия 1 вытекает, что для каждого полного класса P существует единственный класс Q, каждая цепочка которого локально ортогональна цепочкам класса P; класс Q называется локально ортогональным классу P. Очевидно, что это соотношение симметрично: в этом случае класс Q — полный класс и ему локально ортогонален класс P. Используя следствие 1, заключаем, что во множестве полных классов A операция перехода от полного класса к локально ортогональному классу является инволюцией; обозначая символом * переход от полного класса к локально ортогональному, получаем соотношения Q = P*, (P*)* = P VP ? A. Лемма 6. Какова бы ни была полная цепочка векторов, между любыми двумя ее векторами можно вставить такой вектор, что полученная цепочка окажется полной. Имеется континуальное количество неколлинеарных векторов, вставка каждого из которых между двумя фиксированными векторами упомянутой исходной полной цепочки приводит всякий раз к полной цепочке. Доказательство. Пусть A = {aj}jeZ -полная цепочка векторов. По формулам (1.4) найдем локально ортогональную ей полную цепочку векторов B = {bj }jez. Зафиксируем целое число k. Вставим вектор x пространства Rm+i в цепочку A между векторами и aj+i. В результате получится цепочка afc_3, afc_2, afc_i, a^, x, a^+i, aj+2,aj+4,(1.5) условиями полноты которой (с учетом известной по условию полноты цепочки A) являются неравенства b^x = 0, i = 1, 2,…,m + 1.(1.6) Пусть y — произвольный вектор пространства Rm+i, все компоненты которого ненулевые: ПИ =0.(1.7) j=o Рассмотрим решение уравнения (bfc+i, bfc+2,…, bfc+m+i)Tx = y.(1.8) Поскольку матрица системы (1.8) неособенная (т.к. цепочка b — полная), эта система однозначно разрешима, а ее решение при условии (1.7), очевидно, удовлетворяет соотношениям (1.6). Последнее означает полноту цепочки (1.5).и Следствие 2. Множество векторов x, которые приводят к неполной цепочке (1.5), представляет собой объединение m +1 различных (m-мерных) гиперплоскостей, проходящих через начало координат пространства Rm i . Доказательство. Из (1.6)-(1.8) следует, что нарушение соотношений (1.6) (а следовательно, неполнота результирующей цепочки (1.5)) может произойти тогда и только тогда, когда x ? |J m=o((bfc+i, bfc+2,…, bfc+m+i)T )_iRm, где Rm d=f {y | ; = 0} -координатные гиперплоскости пространства Rm+1. ¦ Следствие 3. Для любой полной цепочки векторов существует континуальное число вариантов вставки любого конечного количества векторов между любыми парами соседних векторов таким образом, чтобы результирующая цепочка векторов оказалась полной (количество таких вставок может быть конечно или счетно). 2. Пространства (A, с? )-сплайнов Рассмотрим многообразие M, являющееся прямым произведением интервала (а, в) вещественой прямой и проективного пространства Pm, Md=f (а, в) х Pm. Точки m этого пространства будем представлять в виде упорядоченной пары md=f (t, p), где t ? (а, в), а p ? Pm. Рассмотрим (бесконечную в обе стороны) последовательность Л = {rrtj}jez точек mj d=f (xj, pj) этого пространства таких, что множество X d=f {xj}jez представляет собой сетку вида X : … x_i xo xi …; пусть ad== lim xj, в=f lim Xj,(2-1) j^-coj oo а класс P d=f {pj}jez является полным классом эквивалентных цепочек A d== {aj }jez из векторов aj G Rm+1 (полной цепочкой точек пространства Pm); последовательность Л будем называть полной цепочкой на многообразии M. Множество всех полных цепочек на M обзначим A. Во множестве A введем операцию инволюции следующим образом. Пусть Лd=f {(xj, pj)}jez G A. По определению A класс Pd=f {pj}jez является полным классом и для него определена операция инволюции в A. Пусть Q = P*, Q = {qj}jez. Построим цепочку на M, полагая Л* d=f {(xj, qj)}jez; эту цепочку назовем локально ортогональной цепочке Л. Очевидно, что Л* G A. Операция перехода Л — Л* является инволюцией в A. Введем обозначения: Gd== Ujez (xj, xj+i), Sj d=f , J d=f {k — m,k — m + 1, …,k — 1,k}, k,j G Z, hx d= supj?z (xj+i — xj). Пусть X(G) — линейное пространство вещественнозначных функций, заданных на множестве G, а CS (a, в) -линейное пространство функций, непрерывных вместе со всеми производными до порядка S в точках интервала (а, в). Рассмотрим m+1-компонентную вектор-функцию ip(t) с компонентами из пространства X(G); пусть выполнено следующее предположение. (L) Компоненты вектор-функции ip(t) представляют собой линейно независимую систему на множестве G П (c, d) для любого интервала (c, d), содержащегося в интервале ( a, в) . Выбранная полная цепочка Л точек многобразия M в соответсвии с только что сказанным определяет сетку X вида (2.1) и полный класс P эквивалентных цепочек; пусть цепочка A d== {aj}jez -любой представитель этого класса. Определим функции uj (t), t G G, j G Z, аппроксимационными соотношениями J2aj uj (t) = 9o(t), ujj(t) = 0 Vt G Sj П G.(2.2) Ввиду полноты цепочки A этими соотношениями функции uj (t) определяются на множестве G однозначно. Из (2.2) получаем supp ujj С Sj, ujj G X(G) Vj G Z, и de^{гу}j ejfc,j =j || ,j^(t)) LOj{t) =^ Vt G (xk,xk+1), Vj G Jfc,(2.3) det( {aj }j eJfcJ где значок | ,j означает, что определитель в числителе получается из определителя в знаменателе заменой столбца aj на столбец y(t) (с сохранением прежнего порядка следования столбцов); таким образом, линейное пространство S d=f I и | U(t) d=f cjuj(t) Vt G G, Vcj G Ri (2.4) содержится в пространстве X(G). Из соотношений (2.2)-(2.4) видно, что состав элементов в пространстве S не изменится, если векторы aj умножить на отличные от нуля коэффициенты Aj, и значит выбор представителя A класса P не меняет пространства S: задание полной цепочки точек Л многообразия M и вектор-функции y(t) однозначно определяют пространство S. В дальнейшем пространство (2.4) будем обозначать это пространство называется пространством минимальных (Л, у )-сплайнов (порядка m). Благодаря предположению (L), функции uj, j G Z, образуют базис пространства u(A,v); его будем называть главным базисом. Ввиду леммы 4 главный базис пространства u(a,v) определяется однозначно с точностью до последовательности ненулевых множителей. 3. Свойства (Л, (? )-сплайнов uj(t) По полной цепочке векторов A d=f {aj }jez построим локально ортогональную ей полную цепочку D векторов dj (см. лемму 2), определяемую соотношениями D = {dj }j?z, dj x = det(x, aj_m, aj_m+i,…, aj_i) Vx G Rm+i.(3.1) Пусть t G (xj, xfc+i). Умножая вытекающее из (2.2) аппроксимационное соотношение afc_mufc_m + afc_m+iufc_m+i + … + afc_iufc_i + afcufc = y (t) слева на векторы dj, j = k — m, k — m + 1,. .., k + m + 1, получим две системы уравнений: k=fc_m djajUj = dj92, j = k — m, k — m + 1, .. ., k, YJk=fc_m dj ajUj = dj ^, j = k + 1, .. ., k + m + 1. Из соотношений ортогональности dj _L aj, i = j — m, j — m+1,…, j — 1 следует, что матрицы этих систем треугольные, а поскольку (согласно лемме 3) djaj =0 и dj+m+iaj = 0 для любых j Z, их диагонали состоят из ненулевых элементов: к djajUj = dj92, j = k — m, k — m + 1,. .., k,(3.2) j=j j _m_i dj ajUj = dj ^, j = k + 1,…,k + m + 1.(3.3) j=k_m Каждое из этих уравнений позволяет определить все функции uj (t) для t G (xj, s;t+i) при всех j = k — m, . . . , m, а при фик