Изучение источника радона методом разделения

222Rn является важнейшей составляющей природного радиационного фона. На долю радона и прежде всего его короткоживущих дочерних продуктов распада (ДПР) в эффективной эквивалентной дозе облучения населения приходится не менее половины общей дозы от всех природных источников ионизирующих излучений. При нахождении в помещении с объемной активностью радона 1 Бк/м3 верхние дыхательные пути человека получают эффективную дозу облучения примерно 50 мкЗв/год . На практике колебания объемной активности (ОА) радона в домах могут составлять от нескольких единиц до 105 Бк/м3. Определение радоноопасности территорий включает оценку интенсивности поступления радона из почвы под зданием и прогноз возможных концентраций радона в воздухе как эксплуатируемых, так и проектируемых зданий. Только знание зависимостей интенсивности эксхаляции радона от физических параметров массива грунтов и внешних условий позволяет построить модель поступления радона из почвы под основанием здания в подвальные помещения. В докладе Научного комитета ООН по действию атомной радиации (НКДАР ООН) для прогноза радоноопасности строящихся сооружений обсуждалась возможность 70 расчета эквивалентной равновесной объемной акчений плотности потока радона (ППР) из грунтов тивности (ЭРОА) радона на основе известных знапод основаниями зданий . Рис. 1. Распределение вероятности для результатов измерения ОА радона в зимний период: 1 — экспериментальная функция Fэi; 2 — реализация Fсм 1(Х) смеси сглаживающих распределений: смещенного распределения Вейбулла-Гнеденко и распределения минимального значения; 3 — реализация Fсм 2(Х) смеси сглаживающих распределений: смещенного распределения Вейбулла-Гнеденко и двойное показательное распределение 71 В ряде регионов России, удаленных от радиационно-опасных объектов, имеет место облучение людей радоном, эксхаляция которого происходит из грунта под основанием жилых строений и из строительных материалов. При современном планировании новых жилых и производственных комплексов, повышенное внимание уделяется проблеме радоноопасности территорий, отраженной в ряде работ . На территории Пензы также проводились работы по изучению объемной активности радона в рамках проекта № Э0291/1049. В качестве иллюстрации возможностей математического моделирования рассмотрим процесс эксхаляции радона при использовании активных способов измерения его ОА. Важнейшая проблема анализа результатов связана с выявлением причин высокой ОА радона на основе математических моделей его источников. По результатам расчетов с использованием детерминированных моделей можно делать выводы только о качественном характере распределения радона в грунте, судить о преобладании того или иного механизма миграции радона в зависимости от физических параметров грунта и внешних условий . О количественных прогнозах объемной активности радона или о плотности потока радона из грунта для конкретных природных условий на основе детерминированных математических моделей судить сложно. Это связано с тем, что в полученные формулы подставляются справочные значения коэффициента эманирования грунтов, открытой пористости, коэффициента диффузии, скорости конвекции. Результатом таких расчетов будет справочное, среднее значение исследуемой величины. Постановка задачи Диффузия радона и его ОА в атмосфере исследуемой территории вызваны различными факторами: размер и состав геологических пластов, обусловливающих излучение; толщина поглощающего слоя; размеры объекта излучения; наличие вентиляции и др. Наиболее полную информацию о свойствах источников содержат статистические законы распределения данных. Если результаты излучения распределены по логарифмическому нормальному закону, то можно предположить, что эксхаляция радона связана с множеством причин различного происхождения. При этом форма распределения подчеркивает существование объектов диффузии разной интенсивности. В том случае, когда на территории расположены источники, влияющие на результаты всех измерений, происходит смещение данных в сторону больших значений. Следовательно, для описания данных необходимо использовать распределения, отражающие смещение результатов измерения: смещенное распределение Вейбулла-Гнеденко, двойное показательное распределение, распределение максимального значения и др. . Возможность обнаружения источника эксхаляции радона при явном преобладании его интенсивности излучения над остальными рассмотрена в . Часто суммарное излучение множества различных по происхождению объектов сопоставимо с излучением отдельного источника, находящегося на той же территории. Логарифмическое нормальное распределение позволяет аппроксимировать результаты измерения ОА, соизмеримых по интенсивности и различных по своей природе объектов излучения радона . Смещенное распределение Вейбулла-Гнеденко является хорошей аппроксимацией излучения объекта, определяющего смещение активности в сторону больших значений на всей территории . При наложении результирующее излучение следует характеризовать смесью двух различных статистических распределений. Разделив смеси на исходные составляющие, можно получить полезную информацию об источниках излучения: характере, интенсивности, мощности и др. Использование известных сглаживающих распределений позволяет обнаружить источник диф-Таблица 1 Смесь смещенного распределения Вейбулла-Гнеденко и распределение минимального значения Номер^1Параметры идентификации Параметры распределениясоставляющая Вейбулла-Гнеденкосоставляющая минимального значения рУх0).иЫ1Х2к2 00,21150,93,0437020,86121,360,5461,6640,3861,958 10,25139,32,4647020,24109,70,5641,8190,3911,975 20,3160,22,48337,119,85109,30,5611,8740,4071,993 30,35151,62,16733,919,25109,10,5541,8230,4301,965 40,37146,62,04434,618,98109,20,5691,8670,5222,05 50,4138,61,88136,318,52109,30,571,880,5332,053 60,5114,91,49542,016,23110,80,5721,9490,5142,025 70,696,181,26046,911,86112,90,5551,9010,4611,986 80,782,511,15451,66,62114,30,5441,890,4781,950 90,870,51,08658,62,11116,40,5471,9250,172,032 100,961,71,205704,6364,9010,4611,7470,4891,959 110,947,80,987824,6364,9010,531,9160,5681,995 72 Таблица 2 Смесь смещенного распределения Вейбулла-Гнеденко и двойного показательного распределения НомерK 1Параметры распределенияСоставляющая Вейбулла-ГнеденкоДвойное показательное распределение рYx 0* V- Хz 1kz 1гz 2kz2 00,45110,47,30200,0186,5530,5542,0350,5891,916 10,55109,85,8200,0177,0310,4432,0070,5531,923 20,6109,25,31100,0178,0960,4041,960,5181,915 30,65108,34,96400,01710,910,3961,9570,4591,886 40,67108,54,89200,01711,670,3841,9380,4441,87 50,69108,54,83500,01813,470,3951,9450,4281,882 60,7108,44,81900,01814,980,3931,9430,4151,892 70,75108,64,84100,02132,410,3951,9420,5051,963 80,8110,84,70300,02257,840,3831,9050,5782,021 90,851023,90111,70,029380,40,4051,8510,5912,045 100,6951084,84300,01815,970,4001,9550,4161,901 Рис. 2. Топографическая диаграмма распределений: a — составляющая распределения минимального значения в смеси со смещенным распределением Вейбулла-Гнеденко; a- составляющая распределения Вейбулла-Гнеденко в смеси с двойным показательным распределением; a — составляющая двойного показательного распределения в смеси с распределением Вейбулла-Гнеденко; a — линия положения экспоненциальных распределений с различными степенными показателями, a -линия, ограничивающая заштрихованную область допустимых значений контрэксцесса и энтропийного коэффициента при идентификации симметричного распределения Лапласа, положение которого задано с помощью точки L фузии радона только при значительном превышении его интенсивности над суммарной интенсивностью всех остальных источников диффузии. При этом следует подчеркнуть, что даже при выборе для наиболее оптимального сглаживающего распределения наблюдается значительное отклонение его свойств от таковых выборки исходных результатов измерений, проявляемое в отклонении информационных параметров распределения, таких как кон трэксцесс х и энтропийный коэффициент kэ, относительно их оптимальных значений. Использование смеси распределений позволяет значительно расширить возможности аппроксимации и анализа несимметричных данных . Результаты исследований Авторами рассмотрена возможность аппроксимации распределения вероятности для результатов измерения ОА радона в зимний период с помощью аддитивной модели смеси распределения вида: , (1) Fсм(x, 91, Э2, …, a1, a 2 , …) = K1xF1(x, 91, 92) + +K2 xF2(x, a1, a 2 , …) где »1, »2, a 1, a2, … — параметры распределений; K 1 и K2 — весовые коэффициенты составляющих F1(x, д1,82)и F2(x, a1,a2) смешанного распределения, для которых справедливо соотношение K1 + K2 =1. Рис. 3. Гистограмма для результатов измерений ОА радона в зимний период и ее аппроксимации с помощью смесей распределений Для определения параметров модели при известных коэффициентах K 1 и K2 все результаты сортируются в порядке возрастания, и строится дискретная экспериментальная функция распределе- 73 ния Fэi, значениякоторой определяются как отношение числа результатов, попавших в отрезок к общему числу проведенных измерений. Каждая пара значений результатов измерений ОА радона xi и дискретной экспериментальной функции распределения вероятности Fэi позволяет построить уравнение модели с неизвестными параметрами ( (2) F см(xi,^1,^2, …,a1,a2, …) = Fэi. тистических распределений, получивших широкое распространение при идентификации симметричных распределений . Для аддитивной модели смеси распределения возможно разложение функций плотностей смеси распределений fсм(xi, S1, В2, …, a 1, a2, …) на составляющие f 1 (x ,Ъ1, 3 2) и f 2 (x, a 1, a2,…) вида: (3) f см(x ,Э1,Э2,…,a1,a2,…) = K 1 xf 1(x, $1, 32) + K2 xf2(x, a1, a 2 , …) . Совокупность таких уравнений образует избыточную систему, из которой приближенными методами определены параметры аддитивной модели смеси распределений. Наиболее универсальный метод решения избыточной системы уравнений основан на минимизации средней квад-ратической погрешности решения: N Sp= (F(xi,S1,S2,…,a1,a2,.. )-Fэi)2 min. На рис. 1 показаны экспериментальная функция Fэi для значений xi измерений ОА радона в зимний период (кривая 1) и две наиболее характерные реализации сглаживающих распределений двух различных смесей. На практике для проверки согласия сглаживающего опытного распределения с теоретическим широко используются критерии Колмогорова, Смирнова или Мизеса (t2) . В случае проверки сложных гипотез, для которой определение параметров и установление ее справедливости проводится по одной и той же выборке данных, применение отмеченных выше критериев возможно только для ограниченного ряда простых теоретических распределений . В соответствии с правилами проверки согласия опытного и теоретического распределения , для всех полученных реализаций определены максимальные отклонения реализации Fсм(xi, S1,S2, …, a 1, a2, …) сглаживаемой аддитивной модели распределения от дискретной экспериментальной функции распределения вероятности Fyi. Для расчетов использована функция выборки предельного распределения статистики вида: Dn =sup|Fэi (x)-Fсм(xi, Q1, Q2, …, a1, a2, …)|, т. е. максимального отклонения дискретной экспериментальной функции распределения вероятности Fэi и сглаживающей линейной модели смешанного распределения Fсм(xi, S1, S2, …, a 1, a2, …), которая может оставаться неизменной при разных весовых коэффициентах K 1, K2 или иметь несущественные различия второго порядка. По той же причине ограничено применение критерия t2, для которого расстояние между гипотетическим и истинным распределениями рассматривается в квадратичной метрике. Авторами разработана методика разделения смеси нескольких распределений на составляющие и их последующей приближенной идентификации с использованием информационных свойств стаОтношение составляющих f 1(x^,S2) и f2(xi , a 1, a2, …) к функции плотности смеси распределения fсм(xi, S1,S2, …, a 1, a2, …), полученное для результата xi при известных параметрах проверяемой гипотезы распределения, позволяет оценить статистическую значимость i-го результата измерения ОА радона xi для каждой отдельной составляющей смеси с помощью указания соответствующих коэффициентов: ; q 1 i = q2i = f1(xi, «1, «2) fсм(xi, 1, ^2, …, a1, a2, …) f2(xi, a 1, a 2 , …) fсм(xi, 1, ^2, …, a 1, a2, …) Сумма всех коэффициентов значимости q1 i, найденная для отдельной составляющей функции распределения F1(x, S1, 32), характеризует статистический вес K 1 данной составляющей, пропорциональный суммарному вкладу источника диффузии радона, влияющего на всю исследуемую территорию и тем самым обусловливающего смещение результатов измерения. Таким образом, этот весовой коэффициент будет пропорционален интенсивности излучения источника. Такие несимметричные распределения, как распределение Вейбулла-Гнеденко, двойное показательное распределение, распределение минимального и максимального значения, допускают преобразование к показательному экспоненциальному распределению вида: F(y)=1-e-*. После симметричного отражения положительных значений выборки y относительно нулевого значения величины y полученные распределения преобразуются к симметричному двухстороннему показательному распределению Лапласа: (4) FЛ(z) = 1-0,5xe-^ z 0, z0. 0,5 хe- Проведя преобразования 91 (x) и р2 (x) результатов измерения, распределение величины xi преобразуют к распределениям центрированных случайных величин z1 i и z2i. Параметры X, и Х2 полученных распределений определяют на основе параметров 1, /2, …, a 1, a2, .., рассчитанных для смеси распределения FcJx, %1,%2, …, a 1, a2, …) при решении совокупности уравнений (2). Вероятности попаданияp1 qj иp2 qj значенийz 1 i и 2i полученных выборок в интервалj рассчитываются, как сумма 74 (5) весовых коэффициентов значений выборки, попавших в соответствующий интервал: p 1q q 1 i isk . p 2qj = q 2 i i=k Найденные вероятности p1qj и p2qj учитывают число и значимость попавших в интервалы В этой смеси распределений для реализаций 0, 1, 2 и 3 наибольший вес имеет составляющая минимального значения. Оценки контрэксцесса Хz 2 и энтропийного коэффициента kэ2 для составляющей минимального значения указанных реализаций находятся в области значений, соответствующих распределению Лапласа. Характер изменения положения параметров идентификации для составляющей минимального значения при изменеи результатов для идентифицируемой составляющей смеси распределения. Приближенная идентификация форм составляющих F2(x, »1,»2,…) и F 1( x ,»1,»2) смеси распределений оценивалась на основе соответствия распределений центрированных случайных величин z1 i и z2i распределению Лапласа. Полученная реализация распределения принималась допустимой, если оценки контрэксцессов х 1, х 2 и энтропийных коэффициентов k 1 , k 2 обеих ее составляющих совпадали с контрэксцессом ХЛ и энтропийным коэффициентом kЛ распределения Лапласа, 0,41±0,03 и 1,9±0,1 соответственно . Для анализа данных измерения ОА радона в зимний период на основе аддитивной модели (1) исследованы следующие смеси распределений: a) смесь Fсм1(x) смещенного распределения Вейбул-ла-Гнеденко и распределение минимального значения; б) смесь F2 (x