Интегральные представления аналитических и гармонических

УДК 517.53 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ И ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЕЙ © 2013 г. Представлено академиком 08.04.2013 г. Поступило 17.04.2013 г. DOI: 10.7868/S0869565213320030 1. В сообщении найдены новые интегральные представления аналитических и гармонических функций для неограниченных областей (теорема 2), из которых, в частности, вытекают формулы Коши, Шварца и Пуассона для этих областей (следствие 1). Аналогичные вопросы рассмотрены и решены для гармонических функций (следствие 2). 2. Автором установлена Те о р е м а 1. Если функция f(z) голоморфна в круге K R : |z| < R и непрерывна в замкнутом круге : |z| ? R, то в K R \C ? K R fz() 1 2pii ------ e t– te zt ? --- f ?() ? -------- ?,d C ? ? d 0 +? ? = (1) fz() iIm f 0() 1 2pi ----- e t– t 2 e zt ? --- 1– ?? ?? Re f ?()?,d 0 +? 2pi ? += ? d 0 (2) Re fz() 1 2pi ----- e t– t 2 Re e zt ? --- 1– ?? ?? Re f ?()?,d 0 +? 2 pi ? = ? d 0 (3) где ? = ?e i? , C ? – окружность |?| = ? (0 < ? ? R), проходимая в положительном направлении. Имеет место и следующая Те о р е м а 2. Если функция f(z) голоморфна в области B R : |z| > R, включая бесконечно удаленную точку, и непрерывна в : |z| ? R, то в B R \C ? B R fz() 1 2pi i —— e t– te ? t z —- f ?() ? ——— ?,d C ? ? d 0 +? ? = (4) Московский педагогический государственный университет fz() i Im f ?() 1 2pi —— e t– t 2 e ?t z —- 1– ?? ?? Re f ?()? ,d 0 +? 2pi ? += ? d 0 (5) Re fz() 1 2pi —— e t– t 2 Re e ? t z —- 1– ?? ?? Re f ?()?,d 0 +? 2 pi ? = ? d 0 (6) где ? = ?e i? , C ? – окружность |?| = ? (? ? R), проходимая в положительном направлении. Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку функция f (z) голоморфна в области B R , включая бесконечно удаленную точку, то f (z) в области B R представима в виде fz() c 0 c 1– z —— c 2– z 2 —— … c n– z n —— …+++ + += 1 z — Полагая c 0 = b 0 , c –n = b n , = z», в новых обозначениях будем иметь, что ряд ? ? == = fz() f 1 z» — ?? ?? ? z»() b n z» n n 0= K 1 R — 1 R — будет сходящимся в круге : |z»| < , изображает в нем голоморфную функцию переменной z", непрерывную в замкнутом круге : |z"| ? . Применяя к K 1 R --- 1 R --- функции ?(z") теорему 1, в \C ? будем иметь K 1 R --- ? z"() 1 2pi ----- e t– te z" t ?" ---- ??"()? ,d 0 +? 2 pi ? = ? d 0 ? z"() = = iIm ? 0() 1 2pi ----- e t– t 2 e z" t ?" ---- 1– ?? ?? Re??"() 0 +? 2pi ? + ? d ?,d 0 Re? z"() 1 2pi ----- e t– t 2 Re e z" t ?" ---- 1– ?? ?? Re??"()? ,d 0 +? 2pi ? = ? d 0 где ?" = ?"e i? , 0 < ?" ? , или, возвращаясь к старым 1 R --- переменным, приходим к искомым формулам (4)–(6). Следствие 1. Пусть ? = R. То г д а д л я z ? B R +? e ? z --1– ?? ?? t td 0 ? z ? z– --------- ,–= +? 2e ? 2 --1– ?? ?? t e t– – ?? td 0 ? ? z+ ? z– --------- ,–= +? 2 Re e ? 2 --1– ?? ?? t e t– – ?? ?? ?? td 0 ? Re ? z+ ? z– ---------– R 2 z 2 – ? z– 2 --------------- .–== Отсюда при ? = R в B R формулы (4)–(6) принимают вид известных формул Коши, Шварца и Пуассона fz() f ?() 1 2pii ------ f ?() ? z– --------- ?,d C R ? –= 2pi fz() iIm f ?() 1 2pi ----- ? z+ ? z– --------- Re f ?()?,d 0 ? –= 2pi Re fz() 1 2pi ----- R 2 z 2 – ? z– 2 --------------- Re f ?()? ? Re i? =() .d 0 ? –= Следствие 2. Поскольку каждая гармоническая функция может быть рассмотрена как действительная часть аналитической функции, то с помощью формулы (6) по значениям u(z) на любой окружности C ? (? ? R) ее значения выражаются во всех остальных точках области B R , причем при ? = R вB R 2pi uz() 1 2pi ----- R 2 z 2 – ? z– 2 --------------- f ?()?d 0 ? –= (формула Пуассона ). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. // ДАН. 2008. Т. 421. № 3. С. 299–301. 2. , Методы теории функций комплексного переменного. 2-е изд. М.: Физматгиз, 1958. 680 с. 3. Го л у з и н теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с. 4. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. М.; Л.: ОГИЗ; Гостеортехиздат, 1941. 388 с.