Анализ и оптимизация технологических параметров

Введение Технические задания на разработку технологии и оборудования для поверхностной закалки конкретных изделий обычно содержат не только геометрию подвергаемой термической обработке области, но и предписание получить определенное распределение твердости по заданной глубине упрочняемого слоя в результате его нагрева и охлаждения. Предъявляются и другие требования, например образование определенных сочетаний структурных составляющих на различных глубинах слоя металла, максимально допустимые затраты времени на нагрев и охлаждение, максимально допустимые деформации, предпочтительная частота источника питания, ограничения по потребляемой мощности и т. п. Все это нуждается в серьезном предварительном анализе для оценки возможности реализации технологического процесса, отвечающего всем требованиям заказчика, и получения по крайней мере общих представлении о предпочтительных направлениях протекания технологических переделов, составляющих этот процесс. В опубликованных работах, посвященных теоретическим основам индукционного нагрева и подготовленных в первой половине прошлого века, приведены соотношения, являющиеся решениями линейных дифференциальных уравнений, определяющих ход тепловых и электрических составляющих процесса нагрева. По выполненным решениям тепловых задач предложены примитивные по современным представлениям методики определения времени нагрева и удельной мощности, необходимые для получения заданного конечного распределения температуры по сечению заготовки и, в свою очередь, необходимые для расчетов и проектирования элементов индукционных нагревательных систем . В дальнейшем, уже во второй половине прошлого века, после появления персонального компьютера, все усилия теоретиков и расчетчиков N° 5 (53)/2009 ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ МЕТАЛПООЬРА (1) по сути были сосредоточены на совершенствовании методик и алгоритмов расчета индукционных систем сквозного нагрева. Это было связано с интенсивным процессом перевода металлургических кузнечно-прессовых производств на индукционный нагрев перед пластической деформацией заготовок и в значительной мере с весьма дорогостоящими последствиями ошибок в расчетах параметров индуктирующих систем нагревателей, представляющих собой дорогие, наукоемкие, сложные по конструкции и технологии изготовления агрегаты. Что касается технологий термической обработки деталей машин, то основанные на теории методы предварительного анализа происходящих в объеме металла процессов подготовки и протекания аустенизации структуры во время нагрева и превращения аустенита в различного вида мар-тенситные структуры при охлаждении не были разработаны. Для такого анализа представляется целесообразным получить информацию о величинах температур и скоростей их изменения во всех точках области термической обработки уже на ранних стадиях нагрева и охлаждения, а также отследить эволюцию этих параметров вплоть до их окончания. И в прошлом, и в настоящее время подобные весьма затратные изыскания так или иначе осуществляются в период разработки технологического регламента закалки путем металлографических исследований многочисленных экспериментальных образцов, закаленных при различных режимах нагрева и охлаждения . В настоящей публикации приведен пример использования результатов решения исходных уравнений аналитическими методами и созданного на их основе компьютерного программного комплекса для расчетов и анализа хода процессов, протекающих в металле при закалке шеек коленчатого вала, технология которой была разработана и внедрена в 1996 году. Это дало возможность сопоставить данные выполненного анализа с полученными результатами реальных стендовых испытаний. Краткое описание принятых математических моделей В основе тепловых моделей лежат одномерные линейные дифференциальные уравнения теплопроводности Фурье в частных производных применительно к деталям цилиндрической формы, неоднородное для решения задач нагрева и однородное для решения задач охлаждения: Au(r, t) = T(r, t) т 1 ди(г, t) a dt f(r); u(r, t) где а — коэффициент температуропроводности; г — текущий радиус слоя; t — текущее время, когда возникла температура; T(r, t) — текущая температура в слое; в неоднородном уравнении f(r) = const О, Гн = Tq, Тн — температура нагрева; Tq — начальная температура объекта нагрева; в однородном уравнении f(r) = О, ГН = Тс, Тс — температура охлаждающей среды. Здесь Д — обозначение оператора Лапласа. Ниже приведены результаты решений этих уравнений, выполненных с использованием метода Фурье разделения переменных (см., например, ). Соотношение, описывающее нагрев : тл-т0 цтл-т0)1 * S(z,r)= HAanAn(l-e-v2m)Jo(vn-); (2) га=1 -К A„ -«ал 2aJ1(vraot) 1-a» v^o2(v„) где 0(r, t) — относительная температура в слое радиуса г в момент времени t; ТП — заданная температура поверхности в конце нагрева; р0 — принятая постоянной удельная мощность; R — радиус детали; А, — коэффициент теплопроводности материала детали; т — относительное время (критерий подобия Фурье), т = at/Br; Аап — величина, зависящая от частоты; a — координата внутренней границы эффективного слоя; ^0» J\ — функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка. Здесь числа vn, корни функции Бесселя, есть корни уравнения (3) JM = 0, которое называется характеристическим и является следствием граничного условия, формулирующего пренебрежение потерями с граничной поверхности детали в окружающую среду, что вполне оправдано малыми временами нагрева, характерными для технологии поверхностной закалки с применением индукционного метода нагрева. В основу решения электрической части проблемы нагрева положено представление нагреваемого объекта в виде двухслойной среды, у которой магнитная проницаемость прилегающего к поверхности детали первого слоя глубиной ^, называемой эффективной, равна единице, а значение этого параметра для материала второго (внутреннего) слоя принимается равным некоторой усредненной величине (подробнее см. ). Предполагается, что все источники теплоты равномерно распределены в первом слое. Вычисление значения параметра ?, является N° 5 (53)/2009 МЕТАЛЛООБРАБОТКА ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ одним из результатов решения электрической задачи, используемым в тепловой задаче. Этот результат определяется формулой дом простой итерации) пишется замкнутое выражение для вычисления требуемой удельной мощности у[2К Ч COS ф (4) Ро ЦТ,-Т0) 2R (7) где Ak — горячая глубина проникновения тока; К — отношение полного сопротивления двухслойной среды к сопротивлению второй среды, взятому в отсутствие первой; ф — угол между векторами магнитной и электрической на-пряженностей поля. Тогда не трудно показать, что в неоднородном варианте уравнения (1) правая часть f(r) в цилиндрической (и полярной) системе координат может быть представлена в виде где -Гц — относительное время нагрева. Тем самым уже на этом этапе вычислений определяется исчерпывающая совокупность технологических параметров, необходимых для корректной настройки системы нагрева. Соотношение, описывающее охлаждение как во время паузы, так и при закалке : T(r, t) = Тс (6) о, т 2Ро О г R — Е,; -, а = 1 R XR(l-az) Присутствующий здесь и в соотношении (2) параметр а есть относительная координата внутренней границы эффективного слоя. Таким образом, соотношение (2) содержит два неизвестных параметра — значения времени нагрева tH и удельной мощности р0. В самом технологическом процессе поверхностной закалки стальной детали содержится очевидное требование одновременного достижения заданных на границах подлежащей упрочнению области температур (Т/г — на внутренней поверхности; Тп — на внешней поверхности, обе — выше точки магнитных превращений), так что организованный индукционной системой удельный тепловой поток Ро к концу промежутка времени tH должен обеспечить выполнение условия одновременности. Математически это условие эквивалентно построению совместной системы двух уравнений с двумя упомянутыми неизвестными параметрами, решение которой определит их значения. Очевидно подстановка в выражение (2) значений температур Tk и Тп дает такую систему, а исключение из нее одного из неизвестных, например pq, сводит задачу к одному уравнению, определяющему время нагрева tH: © St Тп~Т0 = т — S(R, т) Tk-T0 T-S(Rk,x) где Rk — радиус внутренней границы заданного закаливаемого слоя; ®st — относительная температура нагрева (стандартная). После определения времени нагрева (например, мето- R (8) -^1г[ф(г)-ГсКо(^-)^ _^^!о R х в=1 Jo(\ln) + Ji(\ln) 2 а хе н J0(\in-), К где ф(г) — распределение температуры в результате нагрева, или после нагрева и паузы. Числа ]in — корни характеристического уравнения задачи на охлаждение, которое выглядит как ure(Ji(u„)/J0(u„)) = Bi; Bi = (R/X)a, (9) где Bi — критерий подобия Био; а — коэффициент теплоотдачи (теплообмена). Эти соотношения являются следствием граничного условия, формулирующего конвективный теплообмен между поверхностью и окружающей средой в виде закона конвективного теплообмена Ньютона (10) -ШЧД, t) = a. Здесь Тс — температура окружающей поверхность среды; а — коэффициент теплоотдачи (теплообмена); Bi — критерий подобия Био. Можно видеть, что в соответствии с (10) коэффициенты X и а характеризуют инерционность процесса теплообмена между соприкасающимися средами: X определяет, насколько охотно поверхность охлаждаемой детали отдает свое тепло охлаждающей среде, а — насколько легко охлаждающая среда принимает отдаваемое поверхностью тепло . Обозначение коэффициента теплообмена (теплоотдачи) греческой буквой а принято соответствующими государственными стандартами. Вслед за авторами работ здесь эта же буква обозначает относительную координату внутренней границы эффективного слоя. Полагаем, это не должно привести к недоразумениям, поскольку в аналитических выражениях эта буква как коэффициент теплообмена встречается только в соотношениях (9) и (10). N° 5(53)/2009 ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ МЕТАЛПООЬРА Таким образом, динамику роцесса охлаждения определяет не только коэффициент теплообмена, но и теплофизические характеристики материала охлаждаемого объекта X, с одной стороны, и охлаждающей среды а — с другой. Более того, на это влияет и размер охлаждаемого изделия, в данном случае радиус R. Согласно выражению (9), упомянутые параметры образуют величину Bi, от которой зависят значения формирующих решение (8) чисел цге. То же самое относится и к выражениям, определяющим скорости охлаждения, которые приведены ниже. Скорости нагрева и охлаждения Эти параметры процесса закалки путем дифференцирования соотношений (2) и (8) по времени t получают следующие представления. Скорости нагрева VT в слое радиуса г в момент t: VT(r,t) = %^ Tn-T0 a tb-Sv(R,tb)R2 = Унт(ти, f) (11) Правая часть выражения (11), обозначенная символом Vrtf, утверждает зависимость скоростей нагрева в точке (г, t) от заданных температуры на поверхности Тп и частоты /. Здесь Sy определяется выражением: ..2 а -Jc 2 Axt От/ (11а) vra ^o(vra) ^ R Действительно, в соответствии с (6) при фиксированном значении температуры Т^ время нагрева явно зависит от Гп, а неявная зависимость от частоты проявляется наличием в составе бесконечных сумм S и Sy множителя Аап, зависящего от величины относительной координаты активного слоя а и, следовательно, от частоты. Скорости охлаждения VOXJI при закалке в слое радиуса г в момент t: 2 О- RA n=i R = ^.охл(Гп / Bi). VOXJI(r, t) (12) Здесь введены обозначения: R T = Л^J0(^)dr; Ro 4(\Ln) + Jl(\Ln) где ф(г, t) — температурное распределение после нагрева или после нагрева и паузы в зависимости от принятого технологического регламента процесса. Аналогично заключительному замечанию по скоростям нагрева правая часть (12) утверждает влияние на скорости охлаждения тех же параметров с добавлением к ним критерия Био, определяющего качество системы охлаждения. Влияние частоты и температуры нагрева поверхности определяется интегралами 1п соотношений (13), которые содержат температурные распределения ср(г), установившиеся в сечении к концу нагрева. Анализ влияния указанных параметров на температурные поля и скорости протекания тепловых процессов, а через них — на корректность соответствующих структурных превращений в стали, проведенный с использованием серии целенаправленных вычислительных экспериментов, должен, по-видимому, дать представление об оптимальных значениях этих параметров. Подводя итог изложенному в приведенных выше разделах, стоит отметить следующее. Пространственные распределения температурных полей в обрабатываемом изделии в соотношениях (2), (8), (11) и (12) определяются поведением так называемых собственных функций рассмотренных задач, являющихся для объектов цилиндрической формы функциями Бесселя первого рода нулевого порядка вида JqQ^t), где Хп называются собственными числами, которые для задачи нагрева отвечают соотношению Хп = v„/R, а для задачи охлаждения — соотношению Хп = [i„/R и определяются, соответственно, уравнениями (3) и (10). Для обеих задач временные зависимости устанавливают экспоненциальные множители с отрицательными показателями степени. Оба упомянутых элемента формируют бесконечные суммы в составе указанных соотношений, за исключением выражений, описывающих процесс нагрева, где, кроме того, присутствуют составляющие линейной зависимости от времени . Компьютерная программа моделирования Программный пакет компьютерной реализации математических моделей индукционной поверхностной закалки построен в профессиональной среде визуального проектирования Visual N° 5 (53)/2009 m МЕТАЛЛООБРАБОТКА ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ Basic версии 6 (VB6). Одним из существенных достоинств среды VB6 является наличие в ней процедуры преобразования спроектированной программы или ее части в исполняемый файл (Ехе-модуль), который становится приложением оболочек Windows без необходимости загрузки в компьютер самой программы VB6. Вместе с тем арифметический интерфейс этой среды позволяет легко кодировать математические выражения любой сложности, строить циклы итерационных вычислительных процедур, вычислять интегралы и производные, решать системы алгебраических уравнений и т. д. Точно так же графический интерфейс программы дает возможность визуализировать результаты расчетов в процессе моделирования в виде графиков и таблиц и распечатывать их. При этом мощность процессоров современных персональных компьютеров, перерабатывающих в данном случае не слишком большие объемы информации, снимает всякую критику недостаточного быстродействия использованной программы. Разработанный пакет программ включает в себя моделирование различных вариантов термической обработки цилиндрических сплошных и полых элементов деталей машин. Нагрев изделий диаметром до 200 мм может быть смоделирован для произвольной частоты средне-и высокочастотного диапазонов с паузой перед охлаждением и без нее. Предусмотрен модуль моделирования закалки с самоотпуском. Процесс охлаждения моделируется для массива из 23 значений критерия Био от 0,1 (воздух) до 100,0 и более (соответствует бесконечной величине коэффициента теплоотдачи). Разработана